Объект исследования и актуальность темы. Объектом исследования предлагаемой диссертации является один класс неантагонистических дифференциальных игр, а именно — иерархических позиционных дифференциальных игр.
Современный облик теории дифференциальных игр сформировался в значительной степени под влиянием работ отечественных и зарубежных математиков Н. Н. Красовского1,2, Л. С. Понтрягина1 2 3, Р. Айзекса4, У. Флеминга. Крупный вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли Э. Г. Альбрехт, М. Барди, В. Д. Батухтин, Е. Н. Баррон, Т. Башар, Р. Беллман, А. Брайсон, Н. Л. Григоренко, Р. В. Гамкрелидзе, В. И. Жуковский, М. И. Зеликин, Н. Калтон, А. Ф. Клейменов, А. Н. Красовский, А. В. Кряжимский, А. Б. Кур- жанский, Дж. Лейтман, П. Л. Лионс, А. А. Меликян, Е. Ф. Мищенко, М. С. Никольский, Г. Ольсдер, Ю. С. Осипов, А. Г. Пашков, В. С. Пацко, Н. Н. Петров, Л. А. Петросян, Г. К. Пожарицкий, Б. Н. Пшеничный, А. И. Субботин, Н. Н. Субботина, В. Е. Третьяков, В. Н. Ушаков, А. Фридман, Хо-Ю-Ши, А. Г. Ченцов, Ф. Л. Черноусько, А. А. Чикрий, С. В. Чистяков, А. Ф. Шори- ков, Р. Эллиот и многие другие.
Первые работы по статическим неантагонистическим играм относятся к периоду 30-50-х гг. двадцатого века и принадлежат таким авторам, как Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн, Дж. Нэш, Г. фон Штакельберг. Принципиальным вопросом в неантагонистической игре является выбор понятия решения, отвечающего содержанию задачи и опирающегося на соответствующий выбор принципа оптимальности. Обычно рассматриваются следующие виды решений: равновесное по Нэшу5, решение по Штакельбергу6, различные типы кооперативных решений.
Возникновение и становление теории неантагонистических дифференциальных игр относится к концу шестидесятых — началу семидесятых годов двадцатого века, когда в основном было завершено построение теории позиционных антагонистических дифференциальных игр. Это определило то существенное влияние, которое методы и результаты теории дифференциальных антагонистических игр оказали на теорию неантагонистических.
Неантагонистическим дифференциальным играм посвящены работы Т. Башара, Н. Н. Данилова, В. И. Жуковского, А. Ф. Клейменова, А. Ф. Кононенко, Дж. Круза, В. Н. Лагунова, Дж. Лейтмана, С В. Лутманова, О. А. Малафеева, Г. Олсдера, А. Ори, Л. А. Петросяна, А. А. Чикрия, С. В. Чистякова и многих других. Постановки задач, используемые методы и приемы их решения отличаются большим разнообразием, но общими являются вопросы определения понятия решения, теоремы существования решений, необходимые и достаточные условия оптимальности, методы построения решений. Многие понятия решений, введенные в статических играх, обобщаются на динамические игры. В частности, это относится к равновесному по Нэшу решению, решению по Штакельбергу. Кроме того, следует отметить, что большое число работ посвящено линейно-квадратичным играм.
Среди перечисленных авторов существенное влияние на текущее исследование и его методологию оказали работы А. Ф. Кононенко, Л. А. Петросяна и А. Ф. Клейменова. Например, для игры двух лиц А. Ф. Кононенко7 устанавливает необходимые условия существования по Нэшу решения в классе позиционных стратегий. Там же устанавливаются достаточные условия, которые почти совпадают с необходимыми. В этой же работе описана структура равновесных по Нэшу решений, использующих идею Ю. Б. Гермеера о применении стратегий наказания. Структура решений основана на совместном выборе игроками взаимовыгодной траектории, реализуемой с помощью программных управлений, и на применении позиционных стратегий наказания в случае отклонения игрока от выбранной траектории. При этом факт отклонения партнера каждый игрок устанавливает по информации о текущем фазовом векторе системы. Теорема о достаточных условиях фактически является теоремой существования равновесных по Нэшу решений...
Таким образом в диссертации были получены нижеперечисленные результаты:
1. Получены аналитические решения для двух вариантов одной иерархической динамической игры Штакельберга, динамика которой описывается уравнением простых движений, а показатели игроков содержат интегральные члены /1, 2/.
2. Разработан алгоритм, позволяющий строить численные решения для класса линейных динамических игр Штакельберга в плоскости с цилиндрическими показателями качества. Алгоритм включает в себя эффективный авторский алгоритм построения алгебраической суммы плоских многоугольников /3, 4, 5, б/.
3. На основе вышеупомянутого алгоритма реализован комплекс программ /7, 8, 9/.
4. Произведен расчет модельного примера, имеющего известное аналитическое решение. Анализ достоверности полученных результатов доказывает работоспособность предлагаемого алгоритма, функциональность предлагаемого комплекса программ/10/.
Таким образом, можно считать, что поставленные в диссертационной работе цели достигнуты полностью.
