В диссертации изучается абстрактная стохастическая задача Коши с генератором полугруппы класса (1,А) и с генератором К- конволюционной полугруппы.
Актуальность темы. При построении моделей реальных систем наряду с детерминированными факторами все чаще стремятся учитывать и воздействие различных случайных факторов. Это приводит к созданию стохастических моделей, а при обращении к абстрактной задаче Коши, основному объекту диссертационного исследования, — к стохастическим задачам со случайными процессами в бесконечномерных пространствах.
Пусть (П, Т,Р) — вероятностное пространство с заданной на нем системой ст-алгебр {Т t > 0} — фильтрацией, В,Н — (сепарабельные) гильбертовы пространства.
Рассматривается стохастическая задача Коши, записанная в виде интегрального уравнения где А : П(А) С Н ! Н — замкнутый линейный оператор, В 6 Ь(В, Н), случайная функция X(£) — обобщение винеровского процесса на бесконечномерный случай — ^-винеровский процесс относительно фильтрации, » = X(0) — Н-значная, То-измеримая случайная величина.
Подход, используемый в диссертации для исследования этого уравнения, основан на полугрупповой технике.
Первые теоремы существования решений задачи Коши и0 = Аи с неограниченным оператором А в банаховом пространстве в терминах теории полугрупп операторов были сформулированы Хилле в конце 40-х годов XX века. Большой вклад в полугрупповую теорию и в теорию абстрактной задачи Коши внесли Феллер, Миядера, Филлипс, Иосида, Като и другие известные математики. Сегодня полугрупповая техника прочно занимает важное место в арсенале эффективных методов исследования абстрактной задачи Коши.
Первые применения полугрупповой техники к абстрактным стохастическим уравнениям появилисв в работах Балакришнана, Куртайн и Фалвб, Метивиер и Пистоне.
Результаты по применению полугрупповой техники к абстрактным стохастическим уравнениям, непосредственным продолжением которых стали исследования диссертации, содержатся в работах Да Прато и Забчика, И.В. Мельниковой и ее учеников...
Построено слабое проинтегрированное К-конволюционное решение абстрактной стохастической задачи Коши с генератором К- конволюционной полугруппы.
Предложение 2. Пусть К-конволюционная полугруппа 3к = {3к (£)| t £ [0, т)} ограниченных операторов в
Н удовлетворяет условию ||3к(^ВО^Ц^здд < 1,
где для ортонормированного базиса {еу} С и
||3к (t)BQ1=2kGs = Рр=1 1|3к (t)BQ 1 еу ||2, тогда процесс Зк = ^к(£) = /0* 3к(£—в)В д№(в)| £ £ [0, т} — К-конволюционная стохастическая свертка — корректно определен.
Свертка Wк, определенная для операторов К-конволюционной полугруппы 5к, обладает теми же свойствами, что и свертка W для операторов полугруппы класса (1, А).
Теорема 8. В условиях предложения 2 случайный процесс X = {X(£)| £ 6 [0, т)}, такой что
является слабым проинтегрированным К-конволюционным решением задачи (1).
Доказана также единственноств предсказуемого слабого проинтегрированного К-конволюционного решения стохастической задачи с генератором К-конволюционной полугруппы.
Теорема 9. В условиях предложения 2 существует только один предсказуемый процесс, являющийся слабым проинтегрированным К-конволюционным решением задачи (1).
