Помощь студентам в учебе
Аппроксимация конфликтно-управляемых функционально-дифференциальных систем
|
Введение 3
I Функционально-дифференциальные системы
запаздывающего типа 14
1. Конфликтно-управляемая система 14
2. Аппроксимация элемента запаздывания 16
3. Моделирующая система 19
4. Теорема о близости 23
5. Взаимное отслеживание 25
6. Пример 30
II Функционально-дифференциальные системы
нейтрального типа в форме Дж. Хейла 32
7. Конфликтно-управляемая система 32
8. Моделирующая система 33
9. Теорема о близости 41
10. Взаимное отслеживание 44
11. Пример 46
III Линейные системы нейтрального типа 48
12. Конфликтно-управляемая система 48
13. Аппроксимация измеримого элемента запаздывания 50
14. Моделирующая система 52
15. Взаимное отслеживание 58
16. Пример 64
IV Дифференциальные игры для систем нейтрального типа . . 66
17. Постановка задачи 66
18. Аппроксимационная дифференциальная игра 68
19. Предельная цена аппроксимационной игры 72
20. Цена и седловая точка в исходной дифференциальной игре .... 75
21. Пример 78
Заключение 81
Литература 82
I Функционально-дифференциальные системы
запаздывающего типа 14
1. Конфликтно-управляемая система 14
2. Аппроксимация элемента запаздывания 16
3. Моделирующая система 19
4. Теорема о близости 23
5. Взаимное отслеживание 25
6. Пример 30
II Функционально-дифференциальные системы
нейтрального типа в форме Дж. Хейла 32
7. Конфликтно-управляемая система 32
8. Моделирующая система 33
9. Теорема о близости 41
10. Взаимное отслеживание 44
11. Пример 46
III Линейные системы нейтрального типа 48
12. Конфликтно-управляемая система 48
13. Аппроксимация измеримого элемента запаздывания 50
14. Моделирующая система 52
15. Взаимное отслеживание 58
16. Пример 64
IV Дифференциальные игры для систем нейтрального типа . . 66
17. Постановка задачи 66
18. Аппроксимационная дифференциальная игра 68
19. Предельная цена аппроксимационной игры 72
20. Цена и седловая точка в исходной дифференциальной игре .... 75
21. Пример 78
Заключение 81
Литература 82
Диссертация посвящена разработке и обоснованию аппроксимаций функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Развивается подход, основанный на использовании таких аппроксимаций для решения задач конфликтного
и гарантирующего управления в динамических системах, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями.
Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. Исторически, возникновение задач конфликтного управления обусловлено исследованием реальных процессов, в которых управление динамической системой происходит в условиях неконтролируемых помех со стороны окружающей среды или
сознательного противодействия некоторого лица (противника). При этом, целью
управления зачастую является достижение некоторого качества процесса, которое во многих случаях можно описать при помощи подходящего показателя. Возникает задача о нахождении управления, которое способно обеспечить показателю качества оптимальный гарантированный результат. Такие задачи формализуются в рамках теории дифференциальных игр, становление которой относится
к началу 1960-х годов и связано с именами Н.Н.Красовского, Л.С.Понтрягина,
Б.Н.Пшеничного, R.Isaacs, W.H.Fleming и A.Friedman (см., например, [3,29,30,33,
70,72,112–114]). Существенный вклад в развитии этой теории внесли Э.Г.Альбрехт,
В.И.Жуковский, А.Ф.Клейменов, А.Н.Красовский, А.В.Кряжимский,
А.Б.Куржанский, Н.Ю.Лукоянов, В.И.Максимов, А.А.Меликян, Е.Ф.Мищенко,
М.С.Никольский, Ю.С.Осипов, В.С.Пацко, Н.Н.Петров, Л.А.Петросян,
В.Г.Пименов, Е.С.Половинкин, А.И.Субботин, Н.Н.Субботина, А.М.Tарасьев,
В.Е.Tретьяков, В.И.Ухоботов, В.Н.Ушаков, А.Г.Ченцов, Ф.Л.Черноусько,
А.А.Чикрий, С.В.Чистяков, E.N.Barron, T.Basar, L.D.Berkovitz, P.Bernhard,
A.Blaquiere, A.Bryson, P.Cardaliaguet, R.J.Elliot, A.Halanay, Y.C.Ho, N.J.Kalton,
G.Leitmann, M.Quincampoix, E.Roxin, P.Saint-Pierre, и многие другие ученые (см.,
например, работы [4,12,13,15,16,20,22,32–36,39–42,55,58,60–65,76–82,88–90,100–
102, 104, 107, 115, 118, 121, 123, 126, 129, 133] и библиографию к ним). В результате
этих исследований была достаточно полно сформирована теория дифференциаль-
3ных игр для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также была инициирована активно развивающаяся и по сей день теория дифференциальных игр для
динамических систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями. Представленная диссертация направлена на дальнейшее развитие этого
направления и касается динамических систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями запаздывающего и нейтрального типов.
Исследования функционально-дифференциальных уравнений были
инициированы процессами, для полного описания которых не хватало теории
обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, например, часто встречаются
процессы, эволюция которых зависит не только от состояния процесса в текущий
момент времени, но и от состояний в прошлом (истории). Такие процессы могут
быть описаны системами функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа или, в другой терминологии, наследственных систем или систем
с последействием. К таким процессам относятся, например, процесс деформации
упругопластичных материалов, процесс развития биологических сообществ, процесс распространении эпидемии или последействий экологических катастроф. В
случае же, если помимо зависимости эволюции от состояний есть также дифференциальная зависимость от динамики процесса в прошлом, то такие процессы
могут быть описаны системами функционально-дифференциальных уравнений
нейтрального типа. Примерами таких процессов служат нелинейные колебания
малой амплитуды в электрической сети, торсионные волны, возникающие при
вращении бурильной колонны, поведение напряжения в сети при отрицательном
сопротивлении. Также указанные типы функционально-дифференциальных уравнений привлекаются для описания и других социально- и эколого-экономических,
химико-технологических, теплоэнергетических процессов и т.д. Соответствующие
примеры и библиографию можно найти в работах [14, 23, 53, 86, 94, 103, 105, 122].
Первые примеры рассмотрения функционально-дифференциальных
уравнений, а именно, дифференциальных уравнений с запаздыванием, были у
Бернулли, Эйлера, Лапласа, позднее у Вольтера, но целенаправленное исследование различных функционально-дифференциальных уравнений как запаздывающего, так и нейтрального типов началось в 1950-х годах и связано с именами
Н.Н.Красовского, А.Д.Мышкиса, R.Bellman, K.L.Cook, J.K.Hale. Большой вклад в
4становление и развитие качественной теории функционально-дифференциальных
уравнений внесли Н.В.Азбелев, Р.Ф.Габасов, Е.С.Жуковский, А.М.Зверкин,
Г.А.Каменский, Ф.М.Кириллова, В.Б.Колмановский, А.В.Кряжимский,
А.Б.Куржанский, Н.Ю.Лукоянов, В.И.Максимов, В.В.Малыгина, А.А.Мартынюк,
Г.И.Марчук, Ю.А.Митропольский, С.Б.Норкин, В.Р.Носов, Ю.С.Осипов,
Б.С.Разумихин, Л.Ф.Рахматуллина, А.Л.Скубачевский, С.Н.Шиманов,
Г.Л.Харатишвили, Л.Э.Эльсгольц, H.T.Banks, T.A.Burton, C.Corduneanu,
M.C.Delfour, R.D.Driver, A.Halanay, H.J.Kushner, T.Yoshizawa и многие другие авторы (см., например, [1,2,5,7,10–12,15,17,19,21,23,25,26,36,37,39,50–52,56,58–60,
74,83–86,91,92,98,99,106,108,110,120,122,124,128,130–132,134]). Эти исследования,
в частности, показали, что динамические системы, описываемые функциональнодифференциальными уравнениями обладают существенными особенностями и к
ним неприменимы напрямую результаты, полученные для обыкновенных дифференциальных уравнений. С другой стороны, было показано, что при должном
осмыслении поведение таких систем можно характеризовать на основе методов и
конструкций, во многом аналогичных наработанным в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, для динамических систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями запаздывающего и нейтрального типов были изучены множество задач, в том числе задачи программного и позиционного управления.
и гарантирующего управления в динамических системах, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями.
Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. Исторически, возникновение задач конфликтного управления обусловлено исследованием реальных процессов, в которых управление динамической системой происходит в условиях неконтролируемых помех со стороны окружающей среды или
сознательного противодействия некоторого лица (противника). При этом, целью
управления зачастую является достижение некоторого качества процесса, которое во многих случаях можно описать при помощи подходящего показателя. Возникает задача о нахождении управления, которое способно обеспечить показателю качества оптимальный гарантированный результат. Такие задачи формализуются в рамках теории дифференциальных игр, становление которой относится
к началу 1960-х годов и связано с именами Н.Н.Красовского, Л.С.Понтрягина,
Б.Н.Пшеничного, R.Isaacs, W.H.Fleming и A.Friedman (см., например, [3,29,30,33,
70,72,112–114]). Существенный вклад в развитии этой теории внесли Э.Г.Альбрехт,
В.И.Жуковский, А.Ф.Клейменов, А.Н.Красовский, А.В.Кряжимский,
А.Б.Куржанский, Н.Ю.Лукоянов, В.И.Максимов, А.А.Меликян, Е.Ф.Мищенко,
М.С.Никольский, Ю.С.Осипов, В.С.Пацко, Н.Н.Петров, Л.А.Петросян,
В.Г.Пименов, Е.С.Половинкин, А.И.Субботин, Н.Н.Субботина, А.М.Tарасьев,
В.Е.Tретьяков, В.И.Ухоботов, В.Н.Ушаков, А.Г.Ченцов, Ф.Л.Черноусько,
А.А.Чикрий, С.В.Чистяков, E.N.Barron, T.Basar, L.D.Berkovitz, P.Bernhard,
A.Blaquiere, A.Bryson, P.Cardaliaguet, R.J.Elliot, A.Halanay, Y.C.Ho, N.J.Kalton,
G.Leitmann, M.Quincampoix, E.Roxin, P.Saint-Pierre, и многие другие ученые (см.,
например, работы [4,12,13,15,16,20,22,32–36,39–42,55,58,60–65,76–82,88–90,100–
102, 104, 107, 115, 118, 121, 123, 126, 129, 133] и библиографию к ним). В результате
этих исследований была достаточно полно сформирована теория дифференциаль-
3ных игр для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также была инициирована активно развивающаяся и по сей день теория дифференциальных игр для
динамических систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями. Представленная диссертация направлена на дальнейшее развитие этого
направления и касается динамических систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями запаздывающего и нейтрального типов.
Исследования функционально-дифференциальных уравнений были
инициированы процессами, для полного описания которых не хватало теории
обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, например, часто встречаются
процессы, эволюция которых зависит не только от состояния процесса в текущий
момент времени, но и от состояний в прошлом (истории). Такие процессы могут
быть описаны системами функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа или, в другой терминологии, наследственных систем или систем
с последействием. К таким процессам относятся, например, процесс деформации
упругопластичных материалов, процесс развития биологических сообществ, процесс распространении эпидемии или последействий экологических катастроф. В
случае же, если помимо зависимости эволюции от состояний есть также дифференциальная зависимость от динамики процесса в прошлом, то такие процессы
могут быть описаны системами функционально-дифференциальных уравнений
нейтрального типа. Примерами таких процессов служат нелинейные колебания
малой амплитуды в электрической сети, торсионные волны, возникающие при
вращении бурильной колонны, поведение напряжения в сети при отрицательном
сопротивлении. Также указанные типы функционально-дифференциальных уравнений привлекаются для описания и других социально- и эколого-экономических,
химико-технологических, теплоэнергетических процессов и т.д. Соответствующие
примеры и библиографию можно найти в работах [14, 23, 53, 86, 94, 103, 105, 122].
Первые примеры рассмотрения функционально-дифференциальных
уравнений, а именно, дифференциальных уравнений с запаздыванием, были у
Бернулли, Эйлера, Лапласа, позднее у Вольтера, но целенаправленное исследование различных функционально-дифференциальных уравнений как запаздывающего, так и нейтрального типов началось в 1950-х годах и связано с именами
Н.Н.Красовского, А.Д.Мышкиса, R.Bellman, K.L.Cook, J.K.Hale. Большой вклад в
4становление и развитие качественной теории функционально-дифференциальных
уравнений внесли Н.В.Азбелев, Р.Ф.Габасов, Е.С.Жуковский, А.М.Зверкин,
Г.А.Каменский, Ф.М.Кириллова, В.Б.Колмановский, А.В.Кряжимский,
А.Б.Куржанский, Н.Ю.Лукоянов, В.И.Максимов, В.В.Малыгина, А.А.Мартынюк,
Г.И.Марчук, Ю.А.Митропольский, С.Б.Норкин, В.Р.Носов, Ю.С.Осипов,
Б.С.Разумихин, Л.Ф.Рахматуллина, А.Л.Скубачевский, С.Н.Шиманов,
Г.Л.Харатишвили, Л.Э.Эльсгольц, H.T.Banks, T.A.Burton, C.Corduneanu,
M.C.Delfour, R.D.Driver, A.Halanay, H.J.Kushner, T.Yoshizawa и многие другие авторы (см., например, [1,2,5,7,10–12,15,17,19,21,23,25,26,36,37,39,50–52,56,58–60,
74,83–86,91,92,98,99,106,108,110,120,122,124,128,130–132,134]). Эти исследования,
в частности, показали, что динамические системы, описываемые функциональнодифференциальными уравнениями обладают существенными особенностями и к
ним неприменимы напрямую результаты, полученные для обыкновенных дифференциальных уравнений. С другой стороны, было показано, что при должном
осмыслении поведение таких систем можно характеризовать на основе методов и
конструкций, во многом аналогичных наработанным в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, для динамических систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями запаздывающего и нейтрального типов были изучены множество задач, в том числе задачи программного и позиционного управления.
В диссертации получены следующие основные результаты:
1. Обоснована устойчивая к возмущениям процедура взаимного отслеживания по принципу обратной связи между движениями исходной конфликтно-управляемой системой, описываемой функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа, и моделирующей системой, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями.
2. Приведена и обоснована процедура взаимного отслеживания между
движениями исходной конфликтно-управляемой системы и моделирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений в двух случаях: когда конфликтно-управляемая система описывается нелинейным функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа в форме Дж. Хейла; когда конфликтно-управляемая система описывается линейным функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа при достаточно общих предположениях.
3. Рассмотрена дифференциальная игра в классах стратегий с поводырем,
в которой движение конфликтно-управляемой динамической системы описывается функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа в форме
Дж. Хейла, а показателя качества оценивает историю движения, реализовавшуюся к терминальному моменту времени. Построена аппроксимационная дифференциальная игра в классе чистых позиционных стратегий, в которой движение
описывается соответствующей моделирующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а показатель качества терминальный. Показано, что цена
аппроксимационной игры в пределе дает цену исходной игры, при этом оптимальные стратегии в исходной игре могут быть построены на основе использования в
качестве поводырей оптимальных движений аппроксимационной игры.
Полученные в диссертации результаты могут быть в дальнейшем использованы
для решения задач конфликтного управления и развития теории дифференциальных игр в функционально-дифференциальных системах. Кроме того, они могут
составить основу для построения соответствующей теории функциональных уравнения Гамильтона-Якоби.
1. Обоснована устойчивая к возмущениям процедура взаимного отслеживания по принципу обратной связи между движениями исходной конфликтно-управляемой системой, описываемой функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа, и моделирующей системой, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями.
2. Приведена и обоснована процедура взаимного отслеживания между
движениями исходной конфликтно-управляемой системы и моделирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений в двух случаях: когда конфликтно-управляемая система описывается нелинейным функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа в форме Дж. Хейла; когда конфликтно-управляемая система описывается линейным функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа при достаточно общих предположениях.
3. Рассмотрена дифференциальная игра в классах стратегий с поводырем,
в которой движение конфликтно-управляемой динамической системы описывается функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа в форме
Дж. Хейла, а показателя качества оценивает историю движения, реализовавшуюся к терминальному моменту времени. Построена аппроксимационная дифференциальная игра в классе чистых позиционных стратегий, в которой движение
описывается соответствующей моделирующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а показатель качества терминальный. Показано, что цена
аппроксимационной игры в пределе дает цену исходной игры, при этом оптимальные стратегии в исходной игре могут быть построены на основе использования в
качестве поводырей оптимальных движений аппроксимационной игры.
Полученные в диссертации результаты могут быть в дальнейшем использованы
для решения задач конфликтного управления и развития теории дифференциальных игр в функционально-дифференциальных системах. Кроме того, они могут
составить основу для построения соответствующей теории функциональных уравнения Гамильтона-Якоби.