Актуальность темы исследования. Математическая теория управления структурно-фазовыми переходами лежит в основе многих технологий, задействованных в традиционных и новых отраслях производства - металлургия, энергетика, аэрокосмическая техника, электроника и др. Несмотря на давнюю историю изучения математических моделей и методов решения задач о структурно-фазовых превращениях, многие аспекты остаются неясными. Так, например, важным вопросом является проблема формирования различных типов микро и макроструктур в твердых материалах, механизмы которых остаются в большой степени неизученными. Для решения этой проблемы представляется важным разработка математических моделей, описывающих фазовые превращения из метастабильных и неравновесных состояний. Разработка методов решений этих моделей, получение аналитических решений и их сопоставление с экспериментальными данными также представляют собой важные исследовательские задачи.
Степень разработанности темы исследования. Предыдущие исследования фазовых превращений составляют теоретическую основу для изучения нерешенных вопросов математического моделирования промежуточной и заключительной стадий нуклеации и роста кристаллов. Среди таких вопросов, например, можно выделить решение нелинейной математической модели роста частиц в метастабильной жидкости кристаллизатора. Здесь важным аспектом является учет процесса отвода кристаллов продукта из кристаллизатора, а также учет его тепломассообмена с окружающей средой. Также нерешенной задачей является учет начального состояния системы на заключительной стадии фазового превращения и учет нестационарного роста кристаллов. Эта часть исследования, базирующаяся на классической теории Лифшица-Слезова и последующих работах В.В. Слезова, развита в заключительной главе диссертации.
Целью исследования является развитие теоретического описания процесса роста кристаллов в переохлаждённых жидкостях и пересыщенных растворах на промежуточной и заключительной стадиях фазового превращения, а также изучение перехода метастабильной системы между этими стадиями.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
1. построение теоретических моделей промежуточной стадии роста кристаллов в метастабильной системе с учётом отвода частиц определённого размера из кристаллизатора и нелинейной скорости роста кристаллов; построение теоретических моделей перехода на заключительную стадию фазового превращения;
2. разработка методов и определение аналитических решений этих нелинейных интегро-дифференциальных моделей процессов тепло-массопереноса;
3. анализ и интерпретация полученных решений, сравнение с экспериментальными данными.
Представленное решение математической модели позволяет построить функцию распределения кристаллов по размерам и найти зависимость переохлаждения (пересыщения) от времени при различных параметрах системы. В данном диссертационном исследовании сформулированы новые математические модели, отражающие реальные процессы кристаллизации, что позволяет точно спрогнозировать поведение метастабильной системы на промежуточной и заключительной стадиях фазового перехода.
Научная новизна заключается в формулировке и аналитическом решении математических моделей, учитывающих нестационарность роста отдельных кристаллов, эффекты Гиббса-Томсона и кинетики присоединения частиц к межфазной поверхности, флуктуации в скоростях роста зародышей, отвод кристаллов из рабочего объёма кристаллизатора и его тепломассообмен с окружающей средой. Также новизной исследования является аналитическое описание перехода метастабильной системы с промежуточной на заключительную стадию фазового превращения, учет начального состояния этой системы на заключительной стадии и нестационарности роста частиц. Кроме этого новизна исследования связана с разработкой новых подходов к решению интегро-дифференциальных систем уравнений тепломассопереноса с подвижной границей, описывающей фазовые переходы в переохлаждённых жидкостях и пересыщенных растворах.
Теоретическая значимость исследования обусловлена тем, что в работе сформулированы новые математические модели явлений тепло- и массоперноса при фазовых превращениях, которые дают более полное описание реальных физических процессов. Также с теоретической точки зрения значимым результатом является разработка новых аналитических подходов к решению этих моделей и интерпретация полученных результатов.
Практическая значимость. Рассматриваемая теория тепло- и массоперноса при фазовых превращениях может быть использована для описания многих прикладных задач, встречающихся в физике конденсированных сред, геофизике, химии и науках о жизни, где зарождение и рост частиц играют важную роль. В диссертации выведены новые аналитические закономерности теоретической теплофизики объёмной кристаллизации, описывающие эволюцию метастабильных жидкостей на промежуточной и заключительной стадиях фазовых превращений. Эти закономерности, в частности, позволяют управлять процессами выращивания кристаллов и теоретически предсказывать состояние двухфазной неравновесной системы (средний размер кристаллов, их количество, полидисперсность).
Методология и методы исследования. Исследование проведено частично на основе известных методов решения нелинейных интегро-дифференциальных задач тепло- и массопереноса с движущимися границами фазовых переходов (например, метод седловой точки, метод разделения переменных, метод перехода к новой независимой переменной), а частично на новых подходах, которые разработаны для решения указанных задач (учет начальной функции распределения на заключительной стадии фазового превращения и нестационарности роста кристаллов).
Положения, выносимые на защиту:
1. Математические модели процессов тепло- и массопереноса при фазовых превращениях в однокомпонентных и бинарных расплавах и растворах описывают промежуточную и заключительную стадии эволюции ансамбля кристаллов.
2. Аналитические подходы позволяют построить решения этих моделей с учетом нестационарности роста кристаллов, флуктуаций в скоростях их роста, эффектов Гиббса-Томсона и кинетики присоединения частиц к межфазной поверхности, формирования начального состояния метастабильной системы на стадии оствальдова созревания, нестационарности роста кристаллов.
3. Аналитические решения разработанных моделей дают количественные зависимости между переменными и параметрами, управляющие фазовым превращением, сопоставляют теорию с экспериментальными данными и прогнозируют поведение мета- стабильной системы.
Достоверность найденных результатов дается сравнением теории с экспериментальными данными. Подходы, используемые в работе, широко применимы, многократно докладывались на конференциях с ведущими специалистами и не противоречат современным общепринятым представлениям. Выводы, сделанные в диссертации, логически следуют из теоретически построенных моделей, их анализа и сопоставления с экспериментальными данными и не противоречат современным научным представлениям.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих российских и международных конференциях:
- International Conference on Applied Mathematics and Informatics (ICAMI-2017) (Колумбия, г. Сан Андрес, 2017);
- Международная конференция «Кристаллизация: компьютерные модели, эксперимент, технологии» (КРИС-2019) (Россия, г. Ижевск, 2019);
- VI Международная молодежная научная конференция Физика. Технологии. Инновации. (ФТИ-2019) (Россия, г. Екатеринбург, 2019);
- XXVIII Всероссийская конференция "МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МО-ДЕЛИРОВАНИЕ В ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ"(ММЕН-2019) (Россия, г. Пермь, 2019) ;
- International Conference on Trends in Material Science and Inventive Materials (ICTMIM-2020) (Индия, г. Коимбатур, 2020);
- VII Международная молодежная научная конференция Физика. Технологии. Инновации. (ФТИ-2020) (Россия, г. Екатеринбург, 2020);
- XXIX Всероссийская конференция "МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕ-ЛИРОВАНИЕ В ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ"(ММЕН-2020) (Россия, г. Пермь, 2020) ;
- VIII Международная молодежная научная конференция Физика. Технологии. Инновации. (ФТИ-2021) (Россия, г. Екатеринбург, 2021 ).
Личный вклад. Диссертация автора является самостоятельной работой, обобщающей результаты, полученные лично автором, а также в соавторстве. Автор диссертации занимался постановкой задач, выбором методов их решения, выводил аналитические зависимости, визуализировал решения с помощью разработанных программных модулей, анализировал полученные результаты. Обсуждение результатов для опубликования в печати проводилось совместно с соавторами.
Работа и научные публикации выполнены при поддержке проектов РФФИ (19-32-90003), РНФ (18-19-00008), фонда развития теоретической физики и математики БАЗИС (20-1-5-82-1), стипендии Правительства РФ, стипендий Президента и Правительства РФ по приоритетным направлениям российской экономики, а также в рамках целевой аспирантуры УрФУ. Кроме этого соискатель благодарит за поддержку Министерство науки и высшего образования Российской Федерации (Уральский математический центр, проект № 075-02-2021-1387).
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 20 печатных работах, определенных ВАК РФ и Аттестационным советом УрФУ, 19 из которых входят в базы данных Web of Science и Scopus. По результатам работы получены 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав основного содержания, заключения и четырёх приложений. Полный объём диссертации 107 страниц текста с 23 рисунками и 2 таблицами. Список литературы содержит 130 наименований.
1. Развита теория роста кристаллов в метастабильных чистых и бинарных жидкостях для промежуточной и заключительной стадий фазовых переходов, а также перехода метастабильной системы между этими стадиями.
2. На промежуточной стадии исследовано влияние отвода кристаллов продукта из метастабильной среды кристаллизатора, учтен его тепломассообмен с окружающей средой, изучено влияние "диффузионного" вклада в кинетическое уравнение, описывающее флуктуации в скоростях роста кристаллов, описана объемная кристаллизация с учетом нестационарного роста отдельных кристаллов, исследованы различные кинетики их нуклеации, показана существенная роль эффектов Гиббса-Томсона и кинетики присоединения частиц к межфазной границе.
3. Построены аналитические решения с учетом фундаментального решения по методу седловой точки, а также первых (значимых) поправок к этому решению. Показано, что эти поправки играют существенную роль и приводят к сходящимся решениям. Аналитически найдены переохлаждение (пересыщение) жидкости и функция распределения кристаллов по размерам в зависимости от теплофизических параметров системы, а также внешних потоков тепла и массы. Определена роль этих потоков на процесс работы кристаллизатора, роль «диффузионного» члена, а также кинетик нуклеации и роста кристаллов.
4. Произведен учет нестационарности теплового (концентрационного) поля вокруг каждого растущего кристаллита, а также сдвига температуры фазового перехода на межфазной границе, вызванного её кривизной и кинетикой прилипания частиц. Получено полное аналитическое решение нелинейной системы кинетического и балансовых уравнений с учетом этих факторов.
5. Аналитически выведена форма «хвоста» функции распределения частиц по размерам на больших временах, определяющая начальное состояние метастабильной жидкости на заключительной стадии фазового превращения. Показано, что форма «хвоста» представляет собой степенную и экспоненциальную функции, убывающие с ростом радиуса. Таким образом подтверждена гипотеза В.В. Слезова о форме хвоста функции распределения на начальном этапе оствальдова созревания (коалесценции).
6. Произведено обобщение теории оствальдова созревания на учёт нестационарного роста межфазной границы кристаллов, начальное состояния системы (начальную функцию распределения) и релаксацию системы к универсальному распределению. Построено теоретическое описание этих процессов, аналитически выведены функции распределения, соответствующие этим факторам.
Перспективы дальнейшей разработки темы исследования. Результаты настоящей диссертационной работы могут быть обобщены на нуклеацию и рост анизотропных кристаллов (например, наностержней из ZnO или CdS). Для этого необходимо сформулировать и разработать соответствующие модели промежуточных и заключительных стадий фазовых превращений с использованием соответствующих криволинейных координат (например, эллипсоидальных). Также важным вопросом является изучение перехода метастабильной системы с промежуточной стадии на стадию коагуляцию частиц (совместного протекания оствальдова созревания, коагуляции и фрагментации частиц).
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
