Математическое моделирование роста кристаллов на промежуточной и заключительной стадиях фазового превращения
|
Введение 4
Глава 1. Литературный обзор 9
1.1 Зарождение кристаллов в метастабильной жидкости 9
1.2 Эффект Гиббса-Томсона 13
1.3 Оствальдово созревание 16
Глава 2. Рост кристаллов в однокомпонентных метастабильных системах 18
2.1 Модели без учета отвода частиц 18
2.1.1 Постановка задачи 18
2.1.2 Решение 20
2.1.3 Результаты 25
2.2 Модель с учетом отвода частиц 27
2.2.1 Постановка задачи 27
2.2.2 Стационарное решение 30
2.2.3 Нестационарное решение 30
2.2.4 Результаты 33
2.3 Выводы по главе 2 35
Глава 3. Рост кристаллов в бинарных метастабильных системах 37
3.1 Модель без учета отвода частиц 37
3.1.1 Постановка задачи 37
3.1.2 Решение 39
3.1.3 Результаты 42
3.2 Модель с учетом отвода частиц 45
3.2.1 Постановка задачи 45
3.2.2 Решение 47
3.2.3 Результаты 49
3.3 Выводы по главе 3 51
Глава 4. Эффект Гиббса-Томсона при эволюции ансамблей частиц в метастабильных системах
4.1 Переходная динамика отдельных кристаллов в метастабильной
жидкости: эффекты Гиббса-Томсона и атомная кинетика 52
4.2 Промежуточная стадия фазового превращения в
переохлажденном расплаве 56
4.2.1 Эволюция полидисперсного ансамбля частиц с
флуктуациями скорости роста кристаллов 58
4.2.2 "Хвост" функции распределения частиц по радиусам ... 65
4.3 Выводы по главе 4 67
Глава 5. Оствальдово созревание при при учёте начальной функции распределения 69
5.1 Нестационарность роста кристаллов 69
5.2 Оствальдово созревание: формирование универсального
распространения 72
5.2.1 Основные уравнения 72
5.2.2 Формирование универсального распределения 73
5.2.3 Динамика релаксации к универсальному распределению . 80
5.3 Выводы по главе 5 82
Заключение 84
Список основных условных обозначений 87
Список литературы 89
Приложение А. Метод седловой точки 102
Приложение Б. Функция М0 104
Приложение В. Первая поправка к основному члену метода седловой точки 105
Приложение Г. Функции N и Г^ 107
Глава 1. Литературный обзор 9
1.1 Зарождение кристаллов в метастабильной жидкости 9
1.2 Эффект Гиббса-Томсона 13
1.3 Оствальдово созревание 16
Глава 2. Рост кристаллов в однокомпонентных метастабильных системах 18
2.1 Модели без учета отвода частиц 18
2.1.1 Постановка задачи 18
2.1.2 Решение 20
2.1.3 Результаты 25
2.2 Модель с учетом отвода частиц 27
2.2.1 Постановка задачи 27
2.2.2 Стационарное решение 30
2.2.3 Нестационарное решение 30
2.2.4 Результаты 33
2.3 Выводы по главе 2 35
Глава 3. Рост кристаллов в бинарных метастабильных системах 37
3.1 Модель без учета отвода частиц 37
3.1.1 Постановка задачи 37
3.1.2 Решение 39
3.1.3 Результаты 42
3.2 Модель с учетом отвода частиц 45
3.2.1 Постановка задачи 45
3.2.2 Решение 47
3.2.3 Результаты 49
3.3 Выводы по главе 3 51
Глава 4. Эффект Гиббса-Томсона при эволюции ансамблей частиц в метастабильных системах
4.1 Переходная динамика отдельных кристаллов в метастабильной
жидкости: эффекты Гиббса-Томсона и атомная кинетика 52
4.2 Промежуточная стадия фазового превращения в
переохлажденном расплаве 56
4.2.1 Эволюция полидисперсного ансамбля частиц с
флуктуациями скорости роста кристаллов 58
4.2.2 "Хвост" функции распределения частиц по радиусам ... 65
4.3 Выводы по главе 4 67
Глава 5. Оствальдово созревание при при учёте начальной функции распределения 69
5.1 Нестационарность роста кристаллов 69
5.2 Оствальдово созревание: формирование универсального
распространения 72
5.2.1 Основные уравнения 72
5.2.2 Формирование универсального распределения 73
5.2.3 Динамика релаксации к универсальному распределению . 80
5.3 Выводы по главе 5 82
Заключение 84
Список основных условных обозначений 87
Список литературы 89
Приложение А. Метод седловой точки 102
Приложение Б. Функция М0 104
Приложение В. Первая поправка к основному члену метода седловой точки 105
Приложение Г. Функции N и Г^ 107
Актуальность темы исследования и степень её разработанности Математическая теория управления структурно-фазовыми переходами лежит в основе многих технологий, задействованных в традиционных и новых отраслях производства - металлургия, энергетика, аэрокосмическая техника, электроника и др. Несмотря па давнюю историю изучения математических моделей и методов решения задач о структурно-фазовых превращениях, многие аспекты остаются неясными. Так, например, важным вопросом является проблема формирования различных типов микро и макроструктур в твердых материалах, механизмы которых остаются в большой степени неизученными. Для решения этой проблемы представляется важным разработка математических моделей, описывающих фазовые превращения из метастабильных и неравновесных состояний. Разработка методов решений этих моделей, получение аналитических решений и их сопоставление с экспериментальными данными также представляют собой важные исследовательские задачи.
Предыдущие исследования фазовых превращений составляют теоретическую основу для изучения нерешенных вопросов математического моделирования промежуточной и заключительной стадий нуклеации и роста кристаллов. Среди таких вопросов, например, можно выделить решение нелинейной математической модели роста частиц в метастабильной жидкости кристаллизатора. Здесь важным аспектом является учет процесса отвода кристаллов продукта из кристаллизатора, а также учет его тепломассообмена с окружающей средой. Также нерешенной задачей является учет начального состояния системы па заключительной стадии фазового превращения и учет нестационарного роста кристаллов. Эта часть исследования, базирующаяся па классической теории Лифшица-Слезова и последующих работах В.В. Слезова, развита в заключительной главе диссертации.
Целью исследования является развитие теоретического описания процесса роста кристаллов в переохлаждённых жидкостях и пересыщенных растворах па промежуточной и заключительной стадиях фазового превращения, а также изучение перехода метастабильной системы между этими стадиями.
Задачами исследования являются:
1) построение теоретических моделей промежуточной стадии роста кристаллов в метастабильной системе с учётом отвода частиц определённого размера из кристаллизатора и нелинейной скорости роста кристаллов; построение теоретических моделей перехода па заключительную стадию фазового превращения;
2) разработка методов и определение аналитических решений этих нелинейных интегро-дифференциальных моделей процессов тепломассопереноса;
3) анализ и интерпретация полученных решений, сравнение с экспериментальными данными.
Представленное решение математической модели позволяет построить функцию распределения кристаллов по размерам и найти зависимость пере-охлаждения (пересыщения) от времени при различных параметрах системы. В данном диссертационном исследовании сформулированы новые математические модели, отражающие реальные процессы кристаллизации, что позволяет точно спрогнозировать поведение метастабильной системы па промежуточной и заключительной стадиях фазового перехода.
Научная новизна исследования заключается в формулировке и аналитическом решении математических моделей, учитывающих нестационарность роста отдельных кристаллов, эффекты Гиббса-Томсона и кинетики присоединения частиц к межфазной поверхности, флуктуации в скоростях роста зародышей, отвод кристаллов из рабочего объёма кристаллизатора и его тепломассообмен с окружающей средой. Также новизной исследования является аналитическое описание перехода метастабильной системы с промежуточной па заключительную стадию фазового превращения, учет начального состояния этой системы па заключительной стадии и нестационарности роста частиц. Кроме этого новизна исследования связана с разработкой новых подходов к решению иптегро-дифферепциальных систем уравнений тепломассопереноса с подвижной границей, описывающей фазовые переходы в переохлаждённых жидкостях и пересыщенных растворах.
Теоретическая значимость исследования обусловлена тем, что в работе сформулированы новые математические модели явлений тепло- и массоперноса при фазовых превращениях, которые дают более полное описание реальных физических процессов. Также с теоретической точки зрения значимым результатом является разработка новых аналитических подходов к решению этих моделей и интерпретация полученных результатов.
Практическая значимость. Рассматриваемая теория тепло- и массоперноса при фазовых превращениях может быть использована для описания многих прикладных задач, встречающихся в физике конденсированных сред, геофизике, химии и пауках о жизни, где зарождение и рост частиц играют важную роль. Здесь могут быть упомянуты такие приложения, как затвердевание переохлажденных расплавов, рост кристаллов в лавовых озерах и магматических камерах, кристаллизация белков и инсулинов, фазовые переходы в магнитных жидкостях и коллоидах, а также производство пищевых продуктов и медикаментов.
Методология и методы исследования. Исследование проведено частично па основе известных методов решения нелинейных интегро-дифференциальных задач тепло- и массопереноса с движущимися границами фазовых переходов (например, метод седловой точки, метод разделения переменных, метод перехода к повой независимой переменной), а частично па новых подходах, которые разработаны для решения указанных задач (учет начальной функции распределения па заключительной стадии фазового превращения и нестационарности роста кристаллов).
Положения, выносимые на защиту:
1. Математические модели процессов тепло- и массопереноса при фазовых превращениях в однокомпонентных и бинарных расплавах и растворах описывают промежуточную и заключительную стадии эволюции ансамбля кристаллов.
2. Аналитические подходы позволяют построить решения этих моделей с учетом нестационарности роста кристаллов, флуктуаций в скоростях их роста, эффектов Гиббса-Томсона и кинетики присоединения частиц к межфазной поверхности, формирования начального состояния метастабильной системы па стадии оствальдова созревания, нестационарности роста кристаллов.
3. Аналитические решения разработанных моделей дают количественные зависимости между переменными и параметрами, управляющие фазовым превращением, сопоставляют теорию с экспериментальными данными и прогнозируют поведение метастабильной системы.
Достоверность найденных результатов дается сравнением теории с экспериментальными данными. Подходы, используемые в работе, широко применимы, многократно докладывались па конференциях с ведущими специалистами и не противоречат современным общепринятым представлениям.
Выводы, сделанные в диссертации, логически следуют из теоретически построенных моделей, их анализа и сопоставления с экспериментальными данными и не противоречат современным научным представлениям.
Апробация результатов исследования. Основные результаты работы докладывались и обсуждались па следующих российских и международных конференциях:
- International Conference on Applied Mathematics and Informatics (ICAMI-2017) (Колумбия, г. Сан Андрес, 2017):
- Международная конференция «Кристаллизация: компьютерные модели, эксперимент, технологии» (КРИС-2019) (Россия, г. Ижевск, 2019);
- VI Международная молодежная научная конференция Физика. Технологии. Инновации. (ФТИ-2019) (Россия, г. Екатеринбург, 2019);
- XXVIII Всероссийская конференция "МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ECTECTBEHHBIX НАУКАХ" (ММЕН-2019) (Россия, г. Пермь,
2019) ;
- International Conference on Trends in Material Science and Inventive Materials (ICTMIM-2020) (Индия, г. Коимбатур, 2020);
- VII Международная молодежная научная конференция Физика. Технологии. Инновации. (ФТИ-2020) (Россия, г. Екатеринбург, 2020);
- XXIX Всероссийская конференция "МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ECTECTBEHHBIX НАУКАХ" (ММЕН-2020) (Россия, г. Пермь, 2020);
- VIII Международная молодежная научная конференция Физика. Технологии. Инновации. (ФТИ-2021) (Россия, г. Екатеринбург, 2021 ).
Личный вклад. Диссертация автора является самостоятельной работой, обобщающей результаты, полученные лично автором, а также в соавторстве. Автор диссертации занимался постановкой задач, выбором методов их решения, выводил аналитические зависимости, визуализировал решения с помощью разработанных программных модулей, анализировал полученные результаты. Обсуждение результатов для опубликования в печати проводилось совместно с соавторами.
Работа и научные публикации выполнены при поддержке проектов РФ¬ФИ (19-32-90003), РИФ (18-19-00008), фонда развития теоретической физики и математики БАЗИС (20-1-5-82-1), стипендий Правительства РФ, Президента РФ по приоритетным направлениям модернизации и развития российской экономики (2019) и Президента РФ по приоритетным направлениям модернизации и технологического развития российской экономики (2020), а также в рамках целевой аспирантуры УрФУ. Кроме этого соискатели благодарит за поддержку Министерство пауки и высшего образования Российской Федерации (Уральский математический центр, проект У5 075-02-2021-1387).
Автор выражает благодарность научному руководителю, профессору Уральского федерального университета Александрову Д.В. за помощь в обсуждениях результатов, совместные публикации и плодотворную работу.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 20 печатных изданиях, определённых ВАК и Аттестационным советом УрФУ, имеются 2 свидетельства о гос. регистрации программ для ЭВМ.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав основного содержания, заключения и четырёх приложений. Полный объём диссертации составляет 107 страниц, включая 23 рисунка и 2 таблицы. Список литературы содержит 130 наименований.
Предыдущие исследования фазовых превращений составляют теоретическую основу для изучения нерешенных вопросов математического моделирования промежуточной и заключительной стадий нуклеации и роста кристаллов. Среди таких вопросов, например, можно выделить решение нелинейной математической модели роста частиц в метастабильной жидкости кристаллизатора. Здесь важным аспектом является учет процесса отвода кристаллов продукта из кристаллизатора, а также учет его тепломассообмена с окружающей средой. Также нерешенной задачей является учет начального состояния системы па заключительной стадии фазового превращения и учет нестационарного роста кристаллов. Эта часть исследования, базирующаяся па классической теории Лифшица-Слезова и последующих работах В.В. Слезова, развита в заключительной главе диссертации.
Целью исследования является развитие теоретического описания процесса роста кристаллов в переохлаждённых жидкостях и пересыщенных растворах па промежуточной и заключительной стадиях фазового превращения, а также изучение перехода метастабильной системы между этими стадиями.
Задачами исследования являются:
1) построение теоретических моделей промежуточной стадии роста кристаллов в метастабильной системе с учётом отвода частиц определённого размера из кристаллизатора и нелинейной скорости роста кристаллов; построение теоретических моделей перехода па заключительную стадию фазового превращения;
2) разработка методов и определение аналитических решений этих нелинейных интегро-дифференциальных моделей процессов тепломассопереноса;
3) анализ и интерпретация полученных решений, сравнение с экспериментальными данными.
Представленное решение математической модели позволяет построить функцию распределения кристаллов по размерам и найти зависимость пере-охлаждения (пересыщения) от времени при различных параметрах системы. В данном диссертационном исследовании сформулированы новые математические модели, отражающие реальные процессы кристаллизации, что позволяет точно спрогнозировать поведение метастабильной системы па промежуточной и заключительной стадиях фазового перехода.
Научная новизна исследования заключается в формулировке и аналитическом решении математических моделей, учитывающих нестационарность роста отдельных кристаллов, эффекты Гиббса-Томсона и кинетики присоединения частиц к межфазной поверхности, флуктуации в скоростях роста зародышей, отвод кристаллов из рабочего объёма кристаллизатора и его тепломассообмен с окружающей средой. Также новизной исследования является аналитическое описание перехода метастабильной системы с промежуточной па заключительную стадию фазового превращения, учет начального состояния этой системы па заключительной стадии и нестационарности роста частиц. Кроме этого новизна исследования связана с разработкой новых подходов к решению иптегро-дифферепциальных систем уравнений тепломассопереноса с подвижной границей, описывающей фазовые переходы в переохлаждённых жидкостях и пересыщенных растворах.
Теоретическая значимость исследования обусловлена тем, что в работе сформулированы новые математические модели явлений тепло- и массоперноса при фазовых превращениях, которые дают более полное описание реальных физических процессов. Также с теоретической точки зрения значимым результатом является разработка новых аналитических подходов к решению этих моделей и интерпретация полученных результатов.
Практическая значимость. Рассматриваемая теория тепло- и массоперноса при фазовых превращениях может быть использована для описания многих прикладных задач, встречающихся в физике конденсированных сред, геофизике, химии и пауках о жизни, где зарождение и рост частиц играют важную роль. Здесь могут быть упомянуты такие приложения, как затвердевание переохлажденных расплавов, рост кристаллов в лавовых озерах и магматических камерах, кристаллизация белков и инсулинов, фазовые переходы в магнитных жидкостях и коллоидах, а также производство пищевых продуктов и медикаментов.
Методология и методы исследования. Исследование проведено частично па основе известных методов решения нелинейных интегро-дифференциальных задач тепло- и массопереноса с движущимися границами фазовых переходов (например, метод седловой точки, метод разделения переменных, метод перехода к повой независимой переменной), а частично па новых подходах, которые разработаны для решения указанных задач (учет начальной функции распределения па заключительной стадии фазового превращения и нестационарности роста кристаллов).
Положения, выносимые на защиту:
1. Математические модели процессов тепло- и массопереноса при фазовых превращениях в однокомпонентных и бинарных расплавах и растворах описывают промежуточную и заключительную стадии эволюции ансамбля кристаллов.
2. Аналитические подходы позволяют построить решения этих моделей с учетом нестационарности роста кристаллов, флуктуаций в скоростях их роста, эффектов Гиббса-Томсона и кинетики присоединения частиц к межфазной поверхности, формирования начального состояния метастабильной системы па стадии оствальдова созревания, нестационарности роста кристаллов.
3. Аналитические решения разработанных моделей дают количественные зависимости между переменными и параметрами, управляющие фазовым превращением, сопоставляют теорию с экспериментальными данными и прогнозируют поведение метастабильной системы.
Достоверность найденных результатов дается сравнением теории с экспериментальными данными. Подходы, используемые в работе, широко применимы, многократно докладывались па конференциях с ведущими специалистами и не противоречат современным общепринятым представлениям.
Выводы, сделанные в диссертации, логически следуют из теоретически построенных моделей, их анализа и сопоставления с экспериментальными данными и не противоречат современным научным представлениям.
Апробация результатов исследования. Основные результаты работы докладывались и обсуждались па следующих российских и международных конференциях:
- International Conference on Applied Mathematics and Informatics (ICAMI-2017) (Колумбия, г. Сан Андрес, 2017):
- Международная конференция «Кристаллизация: компьютерные модели, эксперимент, технологии» (КРИС-2019) (Россия, г. Ижевск, 2019);
- VI Международная молодежная научная конференция Физика. Технологии. Инновации. (ФТИ-2019) (Россия, г. Екатеринбург, 2019);
- XXVIII Всероссийская конференция "МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ECTECTBEHHBIX НАУКАХ" (ММЕН-2019) (Россия, г. Пермь,
2019) ;
- International Conference on Trends in Material Science and Inventive Materials (ICTMIM-2020) (Индия, г. Коимбатур, 2020);
- VII Международная молодежная научная конференция Физика. Технологии. Инновации. (ФТИ-2020) (Россия, г. Екатеринбург, 2020);
- XXIX Всероссийская конференция "МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ECTECTBEHHBIX НАУКАХ" (ММЕН-2020) (Россия, г. Пермь, 2020);
- VIII Международная молодежная научная конференция Физика. Технологии. Инновации. (ФТИ-2021) (Россия, г. Екатеринбург, 2021 ).
Личный вклад. Диссертация автора является самостоятельной работой, обобщающей результаты, полученные лично автором, а также в соавторстве. Автор диссертации занимался постановкой задач, выбором методов их решения, выводил аналитические зависимости, визуализировал решения с помощью разработанных программных модулей, анализировал полученные результаты. Обсуждение результатов для опубликования в печати проводилось совместно с соавторами.
Работа и научные публикации выполнены при поддержке проектов РФ¬ФИ (19-32-90003), РИФ (18-19-00008), фонда развития теоретической физики и математики БАЗИС (20-1-5-82-1), стипендий Правительства РФ, Президента РФ по приоритетным направлениям модернизации и развития российской экономики (2019) и Президента РФ по приоритетным направлениям модернизации и технологического развития российской экономики (2020), а также в рамках целевой аспирантуры УрФУ. Кроме этого соискатели благодарит за поддержку Министерство пауки и высшего образования Российской Федерации (Уральский математический центр, проект У5 075-02-2021-1387).
Автор выражает благодарность научному руководителю, профессору Уральского федерального университета Александрову Д.В. за помощь в обсуждениях результатов, совместные публикации и плодотворную работу.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 20 печатных изданиях, определённых ВАК и Аттестационным советом УрФУ, имеются 2 свидетельства о гос. регистрации программ для ЭВМ.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав основного содержания, заключения и четырёх приложений. Полный объём диссертации составляет 107 страниц, включая 23 рисунка и 2 таблицы. Список литературы содержит 130 наименований.
Диссертационная работа представляет собой единое аналитическое описание различных стадий процесса фазового превращения из метастабильного состояния. Развита теория промежуточной и заключительной стадий фазовых переходов, а также перехода метастабильной системы между этими стадиями. Новизна работы заключается в теоретическом исследовании следующих аспектов объемной кристаллизации в однокомпонептных и бинарных системах. На промежуточной стадии исследовано влияние отвода кристаллов продукта из метастабильной среды кристаллизатора, учтен его тепломассообмен с окружающей средой, изучено влияние "диффузионного" вклада в кинетическое уравнение, описывающее флуктуации в скоростях роста кристаллов, описана объемная кристаллизация с учетом нестационарного роста отдельных кристаллов, исследованы различные кинетики их нуклеации, показана существенная роль эффектов Гиббса-Томсона и кинетики присоединения частиц к межфазной границе. Аналитическое решение, описывающее промежуточную стадию фазового превращения позволило определить начальное состояние метастабильной жидкости па заключительной стадии. Для описания ее перехода па заключительную стадию построена теория оствальдова созревания с учетом начальной функции распределения системы и нестационарного роста кристаллов. В соответствии с этим построено изложение материала диссертации.
Во второй и третьей главах диссертации сформулированы интегродифференциальные модели нуклеации и роста кристаллов в метастабильных чистых и бинарных жидкостях с учетом кинетического уравнения первого и второго порядков по пространственной переменной. Здесь произведен учет стока кристаллов продукта, оттока тепла (притока примеси) от (к) метастабильной среды, нелинейных нестационарных законов роста отдельных кристаллов и различных кинетик нуклеации. Разработаны способы определения аналитических решений сформулированных моделей, основанные па использовании метода седловой точки и метода разделения переменных. Построены аналитические решения с учетом фундаментального решения по методу седловой точки, а также первых (значимых) поправок к этому решению. Показано, что эти поправки играют существенную роль и приводят к сходящимся решениям. Аналитически найдены переохлаждение (пересыщение) жидкости и функция распределения кристаллов по размерам в зависимости от теплофизических параметров системы, а также внешних потоков тепла и массы. Определена роль этих потоков па процесс работы кристаллизатора, роль «диффузионного» члена, а также кинетик нуклеации и роста кристаллов. Показало, что степень метастабильности системы со временем убывает вследствие выделения скрытой теплоты па поверхностях растущих кристаллов. При этом внешний тепломассообмен с окружающей средой может поддерживать метастабильность системы па заданном уровне для обеспечения бесперебойной работы кристаллизатора. Продемонстрировано, что функция распределения кристаллов по радиусам является монотонно возрастающей в случае кинетического уравнения первого порядка. При этом ее максимум соответствует максимальному размеру кристаллов в переохлажденной (пересыщенной) жидкости. Учет флуктуаций в скоростях роста (кинетическое уравнение второго порядка) приводит к диффузии функции распределения по пространству размеров кристаллов и дает колоколообразную форму этой функции.
В четвертой главе диссертации произведен учет нестационарности теплового (концентрационного) поля вокруг каждого растущего кристаллита, а также сдвига температуры фазового перехода па межфазной границе, вызванного её кривизной и кинетикой прилипания частиц. Получено полное аналитическое решение нелинейной системы кинетического и балансовых уравнений с учетом этих факторов. Показано, что ошибка между этой обобщенной моделью и ранее использованной упрощенной моделью может достигать более 30 процентов. Аналитически выведена форма «хвоста» функции распределения частиц по размерам па больших временах, определяющее начальное состояние метастабильной жидкости па заключительной стадии фазового превращения. Показано, что форма «хвоста» представляет собой степенную и экспоненциальную функции, убывающие с ростом радиуса. Таким образом подтверждена гипотеза В.В. Слезова о форме хвоста функции распределения па начальном этапе оствальдова созревания (коалесценции).
В пятой главе диссертации произведено обобщение теории оствальдова созревания па учет нестационарности роста кристаллов и учет начальной функции распределения кристаллов по размерам па заключительной стадии фазового превращения. Аналитически выведена функция распределения, соответствующая этим факторам. Показано, что опа представляет собой колоколообразпую кривую с максимумом ниже распледеления Лифшица-Слезова (ЬЭ). При этом, ее правая ветвь идёт выше соответствующей Ь8-ветви справа от блокирующей точки, а левая ветвь располагается выше левой ветви Ь8- распределения. Выведено нелинейное уравнение для границ переходной зоны, окружающей блокирующую точку универсального распределения (ЬЭ-теории). Показано, что временная поправка к теории оствальдова созревания приводит к релаксации функции распределения снизу вверх до своего асимптотического состояния (ЬЭ-распределения) с ростом времени. Такое поведение подтверждается многочисленными экспериментами.
Перспективы дальнейшей разработки темы исследования. Результаты настоящей диссертационной работы могут быть обобщены па нуклеацию и рост анизотропных кристаллов (например, наностержней из 2пО или Сс1Э). Для этого необходимо сформулировать и разработать соответствующие модели промежуточных и заключительных стадий фазовых превращений с использованием соответствующих криволинейных координат (например, эллипсоидальных). Также важным вопросом является изучение перехода метастабильной системы с промежуточной стадии па стадию коагуляцию частиц (совместного протекания оствальдова созревания, коагуляции и фрагментации частиц).
Во второй и третьей главах диссертации сформулированы интегродифференциальные модели нуклеации и роста кристаллов в метастабильных чистых и бинарных жидкостях с учетом кинетического уравнения первого и второго порядков по пространственной переменной. Здесь произведен учет стока кристаллов продукта, оттока тепла (притока примеси) от (к) метастабильной среды, нелинейных нестационарных законов роста отдельных кристаллов и различных кинетик нуклеации. Разработаны способы определения аналитических решений сформулированных моделей, основанные па использовании метода седловой точки и метода разделения переменных. Построены аналитические решения с учетом фундаментального решения по методу седловой точки, а также первых (значимых) поправок к этому решению. Показано, что эти поправки играют существенную роль и приводят к сходящимся решениям. Аналитически найдены переохлаждение (пересыщение) жидкости и функция распределения кристаллов по размерам в зависимости от теплофизических параметров системы, а также внешних потоков тепла и массы. Определена роль этих потоков па процесс работы кристаллизатора, роль «диффузионного» члена, а также кинетик нуклеации и роста кристаллов. Показало, что степень метастабильности системы со временем убывает вследствие выделения скрытой теплоты па поверхностях растущих кристаллов. При этом внешний тепломассообмен с окружающей средой может поддерживать метастабильность системы па заданном уровне для обеспечения бесперебойной работы кристаллизатора. Продемонстрировано, что функция распределения кристаллов по радиусам является монотонно возрастающей в случае кинетического уравнения первого порядка. При этом ее максимум соответствует максимальному размеру кристаллов в переохлажденной (пересыщенной) жидкости. Учет флуктуаций в скоростях роста (кинетическое уравнение второго порядка) приводит к диффузии функции распределения по пространству размеров кристаллов и дает колоколообразную форму этой функции.
В четвертой главе диссертации произведен учет нестационарности теплового (концентрационного) поля вокруг каждого растущего кристаллита, а также сдвига температуры фазового перехода па межфазной границе, вызванного её кривизной и кинетикой прилипания частиц. Получено полное аналитическое решение нелинейной системы кинетического и балансовых уравнений с учетом этих факторов. Показано, что ошибка между этой обобщенной моделью и ранее использованной упрощенной моделью может достигать более 30 процентов. Аналитически выведена форма «хвоста» функции распределения частиц по размерам па больших временах, определяющее начальное состояние метастабильной жидкости па заключительной стадии фазового превращения. Показано, что форма «хвоста» представляет собой степенную и экспоненциальную функции, убывающие с ростом радиуса. Таким образом подтверждена гипотеза В.В. Слезова о форме хвоста функции распределения па начальном этапе оствальдова созревания (коалесценции).
В пятой главе диссертации произведено обобщение теории оствальдова созревания па учет нестационарности роста кристаллов и учет начальной функции распределения кристаллов по размерам па заключительной стадии фазового превращения. Аналитически выведена функция распределения, соответствующая этим факторам. Показано, что опа представляет собой колоколообразпую кривую с максимумом ниже распледеления Лифшица-Слезова (ЬЭ). При этом, ее правая ветвь идёт выше соответствующей Ь8-ветви справа от блокирующей точки, а левая ветвь располагается выше левой ветви Ь8- распределения. Выведено нелинейное уравнение для границ переходной зоны, окружающей блокирующую точку универсального распределения (ЬЭ-теории). Показано, что временная поправка к теории оствальдова созревания приводит к релаксации функции распределения снизу вверх до своего асимптотического состояния (ЬЭ-распределения) с ростом времени. Такое поведение подтверждается многочисленными экспериментами.
Перспективы дальнейшей разработки темы исследования. Результаты настоящей диссертационной работы могут быть обобщены па нуклеацию и рост анизотропных кристаллов (например, наностержней из 2пО или Сс1Э). Для этого необходимо сформулировать и разработать соответствующие модели промежуточных и заключительных стадий фазовых превращений с использованием соответствующих криволинейных координат (например, эллипсоидальных). Также важным вопросом является изучение перехода метастабильной системы с промежуточной стадии па стадию коагуляцию частиц (совместного протекания оствальдова созревания, коагуляции и фрагментации частиц).
Подобные работы
- Математическое моделирование роста кристаллов на промежуточной и заключительной стадиях фазового превращения
Авторефераты (РГБ), теплоэнергетика и теплотехника. Язык работы: Русский. Цена: 250 р. Год сдачи: 2021
Заказать работу
Заявка на оценку стоимости
Это краткая форма заказа. После ее заполнения вы перейдете на полную форму заказа работы
Каталог работ (149688)
- Бакалаврская работа (38377)
- Диссертация (978)
- Магистерская диссертация (22143)
- Дипломные работы, ВКР (60425)
- Главы к дипломным работам (2138)
- Курсовые работы (10523)
- Контрольные работы (6265)
- Отчеты по практике (1357)
- Рефераты (1481)
- Задачи, тесты, ПТК (631)
- Ответы на вопросы (155)
- Статьи, Эссе, Сочинения (942)
- Бизнес-планы (51)
- Презентации (106)
- РГР (84)
- Авторефераты (РГБ) (1692)
- Диссертации (РГБ) (1882)
- Прочее (458)
Новости
06.01.2018
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
Помощь в выполнении учебных и научных работ на заказ ОФОРМИТЬ ЗАКАЗ
дальше»» Все новости
Статьи
- Где лучше заказывать диссертации и дипломные?
- Выполнение научных статей
- Подготовка диссертаций
- Подводные камни при написании магистерской работы
- Помощь в выполнении дипломных работ
»» Все статьи
Заказать работу
Заявка на оценку стоимости
Это краткая форма заказа. После ее заполнения вы перейдете на полную форму заказа работы
