Актуальность темы исследования. Энтропия является фундаментальным свойством стохастических систем. Но несмотря на то, что этот термин очень часто используется в современной науке, в задачах моделирования открытых систем использование энтропии недостаточно формализовано. Существующие методы в основном носят качественный и частный характер, отсутствуют достаточно простые и адекватные математические модели, которые связывают энтропию с фактическими характеристиками состояний многомерных стохастических систем. Остается открытым вопрос интерпретации энтропии. В математическом моделировании является актуальной разработка единого подхода к энтропийному моделированию многомерных стохастических систем, мониторингу и управлению ими, которые бы учитывали энтропийный дуализм и возможность присутствия дискретных случайных компонент, и стохастическую неоднородность экспериментальных данных, а также его алгоритмическая и программная реализация.
Степень разработанности темы. Значительный вклад в создание и развитие теории энтропии внесли Р. Клаузиус (R.J.E. Clausius), Л. Больцман (L.E. Boltzmann), Дж. Гиббс (J.W. Gibbs), Р. Хартли (R.V.L. Hartley), К. Шеннон (C.E. Shannon), А.Н. Колмогоров, А. Реньи (A. Renyi), Дж. фон Нейман (J. von Neumann), С. Кульбак (S. Kullback), А.Я. Хинчин, К. Тсаллис (C. Tsallis), Дж. Ингленд (G.W. England), Н. Мартин (N.F.G. Martin) и другие ученые.
Многие реальные системы можно классифицировать как сложные многомерные стохастические системы. Особенностью таких систем является наличие множества элементов, которые сложным образом связаны между собой. Эти системы являются открытыми, т.е. могут обмениваться веществом, энергией и информацией с окружающей средой. Влияние энтропии на эволюцию открытых систем исследовалось в работах И. Стенгерса (I. Stengers), Г. Николиса (G. Nicolis), И.Р. Пригожина (I.R. Prigogine), Ю.Л. Климонтовича. В их публикациях отмечается, что изменение открытых систем, либо ведет к деградации, либо это процесс самоорганизации, в результате которого появляются более сложные структуры. И.Р. Пригожин1 в 1955 г. сформулировал расширенный вариант второго начала термодинамики, согласно которому полное изменение энтропии открытой системы нужно представлять в виде двух частей: причиной первой из них служат внутренние процессы, которые необратимы и непременно сопровождаются переходом части энергии упорядоченных процессов в энергию неупорядоченных процессов, в конечном счете - в теплоту; вторая часть обусловлена обменом энергией и веществом между системой и окружающей средой.
В настоящее время энтропия часто используется для моделирования сложных систем различной природы (в экономике, технике, обществе, биологии, механике, экологии, физике, лингвистике и др.). Можно выделить ряд авторов, использовавших энтропию для построения математических моделей сложных систем: Г.Н. Алексеев, О.Г. Берестнева, А.В. Волков, И.Н. Еремина и А.Г. Саноян, Д.Г. Егоров, О.Л. Королев, М.Ю. Куссый и А.В. Сигал, В.Л. Лазарев, А.П. Левич, Е.В. Луценко, Г.Г. Малинецкий, А.Б Потапов и А.В. Подлазов, А.И. Пилипенко, Ю.С. Попков, А.К. Приц, Е.А. Седов, С.М. Скоробогатов, А.М. Хазен, В.И. Хрусталев, О.В. Цветков, О.В. Чумак, Э.Т. Джейнс (E.T. Jaynes), Д. Лурье (D. Lurie) и Дж. Вагенсберг (J. Wagensberg), Б. Мандельброт (B.B. Mandelbrot), Ф. Нельсон (F. Nelson), У. Слейбо (W.H. Slabaugh) и Т. Персонс (Th.D. Parsons), М. Трибус (M. Tribus), Г. Хакен (H. Haken), П. Эткинс (P.W. Atkins) и др. Общим в этих работах является использование информационной энтропии, предложенной К. Шенноном2 3 4 в 1948 г.
Анализ этих и других публикаций показал, что использование информационной энтропии для моделирования многомерных открытых стохастических систем сталкивается с несколькими затруднениями.
Во-первых, требуется оценивать вероятности элементарных состояний системы для расчета информационной энтропии. Поэтому, для обеспечения достаточной точности вычисления энтропии, требуются большие выборки.
Во-вторых, часто возникают трудности, как с однозначным выделением у сложной системы фиксированного конечного множества состояний, так и с тем, что некоторые состояния заранее могут быть вообще не известны.
В-третьих, затруднено моделирование взаимосвязей между элементами многомерных систем. А отсутствие возможности адекватного моделирования взаимосвязей приводит к проблеме выбора энтропийного критерия эффективности функционирования открытых систем. Ведь энтропия у них может, как возрастать, так и уменьшаться. Обычно критерий эффективности задается исходя из иных общих предпосылок, не учитывающих фактическое состояние системы.
В-четвертых, информационная энтропия не учитывает изменения дисперсии исследуемого процесса.
Результатом этого является то, что существующие адекватные энтропийные модели реальных систем получены лишь при решении частных задач. Данная проблема потенциально может быть устранена за счет использования дифференциальной энтропии, предложенной К. Шенноном в той же работе2. Длительное время применение дифференциальной энтропии ограничивалось только случаем многомерного нормального распределения3,4, что ограничивало практическое использование дифференциальной энтропии. А.Н. Тырсиным была получена формула5, позволяющая избавиться при вычислении дифференциальной энтропии необходимости знания или определения плотности вероятности многомерной случайной величины. А также, для дифференциальной энтропии был формализован сформулированный ранее И.Р. Пригожиным дуализм изменения энтропии в термодинамике: энтропия представлена как сумма энтропий хаотичности и самоорганизации . Однако остается нерешенным вопрос интерпретации энтропии в зависимости от области приложений6. Многие авторы отмечают, что задачу повышения эффективности функционирования систем можно представлять в виде увеличения или уменьшения ее энтропии. Но оценка состояния системы и управление на основании энтропии как скалярной величины оказывается во многих случаях не реализуемым из-за разнонаправленного изменения энтропий хаотичности и самоорганизации...
В части «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений»:
1. Развитие энтропийного моделирования многомерных стохастических систем за счет нового подхода, основанного на векторном представлении энтропии случайного вектора.
В части «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей»:
1. Сформулированы задачи векторного энтропийного мониторинга и управления многомерными стохастическими системами.
2. Предложена методика включения в энтропийную модель многомерной стохастической системы дискретных случайных компонент.
В части «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий»:
1. Разработан численный метод векторного энтропийного управления гауссовскими стохастическими системами в виде оптимизационной задачи, включающий различные варианты реализации на основе алгоритмов нулевого, первого и второго порядка.
2. Выполнен сравнительный анализ вычислительной эффективности алгоритмов реализации векторного энтропийного управления гауссовскими стохастическими системами на основе методов статистических испытаний Монте-Карло и имитационного моделирования.
3. Разработан численный метод решения задач мониторинга устойчивого развития гауссовских стохастических систем, проведено исследование его эффективности на основе методов статистических испытаний Монте-Карло и имитационного моделирования.
В части «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»:
1. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ, реализующий предложенные алгоритмы.
2. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие эффективность предложенных алгоритмов реализации векторного энтропийного моделирования многомерных стохастических систем в задачах мониторинга и управления, а также адекватность проведенного моделирования.
В части «Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели»:
1. Разработаны методики оценки влияния компонент и их взаимосвязей в моделях мониторинга и управления многомерных стохастических систем.
2. В рамках векторного энтропийного моделирования с помощью разработанного комплекса проблемно-ориентированных программ решено несколько задач мониторинга и управления в различных предметных областях - медицине, промышленной безопасности и экономике...
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
