Основные результаты проведенного исследования.
• Предложено непрерывное обратимое преобразование «плоской» трехмерной плотностной модели в «сферическую» и наоборот, основанное на преобразовании Гаусса-Крюгера. Свойство сохранения углов пересекающихся линий на эллипсоидальных поверхностях сечения модели при преобразовании позволяет сохранять геометрические формы особенностей плотностного распределения. Принцип сохранения превышения точек модели над поверхностью Земли позволяет сохранить соответствие положения данных точек в географических координатах.
• Предложен и программно реализован вычислительно эффективный метод решения прямой задачи гравиметрии для эллипсоидальной модели с кусочно-постоянным распределением плотности, заданным на иррегулярной сетке (в геодезической системе координат). По результатам проведенных численных экспериментов, метод обеспечивает погрешность в поле менее 0,01% при ~100-кратном ускорении вычислений по сравнению с методом Гаусса-Лежандра для моделей с количеством элементов порядка 108 и точек счета поля порядка 106.
• Проведен ряд численных экспериментов, который позволил произвести сравнение вычисленных полей «плоских» и «сферических» моделей различной протяженности. Установлено, что для моделей протяженностью порядка 1000х1000км и мощностью порядка 100км может потребоваться учет «сферичности» при решении прямых и обратных задач гравиметрии, так как погрешность «за сферичность» может превысить 5%. При решении линейных обратных задач гравиметрии для «сферических» моделей в качестве начального приближения можно брать результат, полученный в ходе решения задачи в «плоской» постановке. (Начиная процесс решения с довольно низкой невязки (порядка 10%) и наследовав все априорные данные, заложенные в модель.)
• Разработано пользовательское программное обеспечение для решения прямой задачи гравиметрии для эллипсоидальных моделей со встроенным преобразованием (из «плоской» модели в «сферическую»). Приложение использует современные технологии параллельных вычислений (Nvidia CUDA) и рассчитано для использования на гетерогенных распределенных вычислительных системах (суперкомпьютерах), что позволяет производить вычисления для региональных моделей высокого разрешения. Исходные коды, исполняемые файлы и инструкции разработанного ПО доступны по свободной лицензии в сети Интернет1.
• Предложенный алгоритм и разработанное программное обеспечение применены для решения обратной задачи гравиметрии методом сопряженных градиентов. Введенная модификация целевого функционала позволяет с высокой точностью находить решение обратной задачи с использованием дополнительных априорных данных: модели начального приближения и распределения среднего значения плотности по глубине. Метод имеет малое количество настроечных параметров, основным из которых является вектор коэффициентов штрафной функции, позволяющий нейтрализовать эффект «скопления» плотностных аномалий в верхних слоях модели. Для реализации метод требует только независимо имплементированный оператор прямой задачи и его «транспонированную версию» (которые совпадают при определенных постановках, см. работы Мартышко П.С., 2013, 2015). Вычислительная эффективность непосредственно зависит только от качества реализации оператора прямой задачи, т. к. его вычислительная сложность на несколько порядков выше сложности операций, используемых в методе.
• Для «плоской» региональной плотностной модели, построенной в Институте геофизики ИГФ УрО РАН в результате решения линейной обратной задачи гравиметрии по наблюденному полю, было найдено уточненное решение с поправкой за сферичность. Ошибка в поле для «сферической» модели сокращена с 9% до 3%.
Разработанный метод «многогранников» можно применять при решении прямых и обратных задач гравиметрии для плотностных моделей, ограниченных не только элементом поверхности эллипсоида, но и произвольной поверхностью (которая должна хорошо поддаваться триангуляции). При решении практических задач естественно рассматривать рельеф в качестве этой поверхности. Такой подход позволит точно вычислять топографическую поправку с учетом сферичности и без использования техник аппроксимации (таких как приближение гравитационного эффекта масс, заключенных между референц-поверхностью и поверхностью рельефа поправкой за промежуточный плоскопараллельный слой). Также, становится возможным проведение интерпретации наблюденных гравитационных данных с учетом «сферичности» без предварительного вычисления поправок за рельеф, используя для построения плотностных моделей измеренные на рельефе значения поля.
При замене функции гравитационного поля элемента разбиения в методе конечных элементов (2.2) на выражение для магнитного поля можно перейти к решению прямой задачи магнитометрии для тел сложной формы (их поверхность также должна хорошо аппроксимироваться триангуляцией). Благодаря высокой эффективности алгоритма становится практически целесообразным производить расчет «эффекта размагничивания».
Описанные направления развития темы активно исследуются автором и сотрудниками лаборатории математической геофизики ИГФ УрО РАН. По результатам данных исследований имеются соответствующие публикации.

Купить