Введение 6
Глава 1. Константа и функция Лебега для интерполяционных многочленов Лагранжа на d -симплексах 47
§ 1.1. Порядок роста констант Лебега 47
§ 1.2. Оценка снизу функции Лебега 69
Глава 2. Оценки погрешности аппроксимации производных в случаях простой и кратной интерполяции на треугольниках и тетраэдрах 76
§ 2.1. Оценки сверху для простых конечных элементов 76
§ 2.2. Оценки снизу для простых конечных элементов 119
§ 2.3. Оценки сверху для составного конечного элемента 139
§ 2.4. Оценки снизу для составных конечных элементов 150
Глава 3. Об оценках погрешности аппроксимации производных в случае интерполяции Лагранжа на d -симплексах 165 § 3.1. Новая геометрическая характеристика симплекса и ее сравнение с характеристикой П. Жамэ 166
§ 3.2. Оценки снизу погрешности аппроксимации производных . . 172
§ 3.3. Линейная интерполяция на тетраэдре 194
Заключение 198
Список литературы 200
Предметом изучения диссертации являются вопросы, связанные с полиномиальной интерполяцией и аппроксимацией функций многих переменных на d -симплексе в равномерной норме (рассматриваются случаи
d = 2; 3 или d 2 N ). Способы интерполяции на произвольном симплексе выбираются таким образом, чтобы результирующий сплайн, определенный на триангулированной области, обладал свойством непрерывности или
гладкости порядка m; m ≥ 1 (под сплайном мы понимаем функцию, которая на каждом симплексе из триангуляции области Ω является алгебраическим многочленом, причем эти многочлены задаются таким образом,
чтобы результирующая кусочно-полиномиальная функция на всей области
обладала свойством непрерывности или гладкости заданного порядка; под
гладкостью порядка m — существование и непрерывность всех производных до порядка m включительно). В первой и третьей главах рассматривается интерполяция Лагранжа (интерполируются значения приближаемой функции) в равномерных узлах симплекса. Такой выбор интерполяционных условий часто используется в методе конечных элементов, но может
также представлять самостоятельный интерес как способ аппроксимации
функции. Во второй главе рассмотрен ряд способов интерполяции Эрмита
и Биркгофа (интерполируются значения приближаемой функции и значения ее производных: последовательных — в случае интерполяции Эрмита,
и с пропусками — в случае интерполяции Биркгофа) с интерполяцией производных высокого порядка в связи с изучением возможности применения
соответствующих сплайнов, построенных на триангулированой исходной
области, в методе конечных элементов.
В диссертационной работе получены следующие основные результаты.
Для интерполяционного процесса Лагранжа исходной функции по равномерным узлам d -симплекса многочленами степени не выше n по совокупности переменных найден точный порядок роста констант Лебега Ld n
по n при фиксированном d . Получена поточечная оценка снизу для верхнего предела последовательности функций Лебега для указанного интерполяционного процесса.
Предложен ряд способов интерполяции функции f 2 Wn+1M(∆) при
d = 2; 3 , позволяющих получать непрерывные или гладкие сплайны на
триангулированной области. Для построенных таким образом простых (не
составных) конечных элементов получены оценки аппроксимации величин
Ed
n;s , являющиеся более точными, чем оценки в случаях известных ранее
способов интерполяции. Аналогичная задача оценки величины En;s d решена
для составного элемента типа Сие-Клафа-Точера при d = 2 с выбором
дополнительной точки в центре вписанной окружности треугольника.
Показано, что требование гладкости результирующей кусочнополиномиальной функции на триангулированой области не позволяет
полностью исключить ”условие наименьшего угла” треугольников из
требований к триангуляции, если необходимо аппроксимировать производные порядка два и выше на множестве функций Wn+1M . Рассмотрены
простые и составные конечные элементы.
Введена новая характеристика d -симплекса, позволяющая контролировать качество триангуляции и являющаяся более простой для вычисления
и использования на практике, чем классическая характеристика П. Жамэ.
С помощью этой характеристики доказано, что в случае интерполяции
Лагранжа по равномерным узлам d -симплекса оценки П.Жамэ являются
близкими к оптимальным и должны приниматься во внимание при иссле-
198довании и использовании величины Ed
n;s .
Полученные результаты могут использоваться при решении краевых
задач методом конечных элементов, позволяя, в частности, накладывать
меньшие ограничения на триангуляцию исходной области.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
