ДИНАМИКА МЕЖФАЗНЫХ ГРАНИЦ В ПРОЦЕССАХ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ РАСПЛАВОВ: ТЕОРИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
|
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 2
Положения, выносимые на защиту 4
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ 7
Заключение 22
Список литературы 23
Положения, выносимые на защиту 4
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ 7
Заключение 22
Список литературы 23
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Процессы кристаллизации возникают в различных областях: от металлургического производства до геологии и метеорологии. Когда металлическая деталь изготавливается методом литья, структура, образующаяся сразу после затвердевания, определяет многие свойства готового изделия. Наличие дефектов влияет на механические свойства, а колебания в химическом составе приводят к различным коррозионным и усталостным свойствам в разных частях изделия. В промышленности важной является задача получения металла в твердом состоянии, однородного по химическому составу и нс содержащего большого количества механических дефектов, для того, чтобы готовое изделие обладало определенными, одинаковыми во всем объеме физическими свойствами. Чтобы решить эту задачу необходимо понять связь структуры образующейся твердой фазы с внешними, контролируемыми условиями, такими как степень переохлаждения или концентрации примесей в затвердевающей жидкости.
Форма образующейся микроструктуры будет зависеть как от температурных условий охлаждения, так и от химического состава. Теплопроводность и конвекция определяют локальное распределение температуры и, тем самым, скорость роста и морфологическую устойчивость.
Математическое описание процессов дендритной кристаллизации основывается на уравнениях тепло- и массопсрсноса, записываемых во всех присутствующих фазах, и граничных условиях к ним. Решение задач математического моделирования фазовых переходов осложняется присутствием подвижных границ, перемещающихся с заранее неизвестной скоростью.
В настоящей работе исследуется наиболее общее интсгро-диффс- рснциалыюс уравнение, полученное методом граничных интегралов и определяющее связь между формой поверхности растущего дендрита и движущей силой кристаллизации. Данный метод основывается на том, чтобы для описания температурного и концентрационного поля, порожденных распределением источников (подвижная поверхность фазового перехода выделяет скрытую теплоту и примесь в процессе затвердевания), подсчитывать эффект от каждой элементарной части источника, задаваемый функцией Грина и затем брать интеграл по поверхности раздела фаз. Таким образом, метод граничного интеграла позволяет перейти от краевой задачи с подвижными границами к одному интегро-дифференциальному уравнению, в которое форма поверхности входит явным образом.
Степень разработанности темы исследования. Решение граничного интегрального уравнения или эквивалентной ему краевой задачи позволяет получить зависимость внешних условий от безразмерного числа Пекле, в которое входят одновременно диаметр вершины и скорость роста. Чтобы получить эти параметры независимо, необходимо найти устойчивую скорость роста. В двумерном случае роста параболического дендрита известно как численное так и аналитическое решение задачи отбора скорости, в то же время большая часть экспериментов демонстрирует трехмерную форму растущих дендритов. Усреднение двумерной поверхностной энергии в азимутальном направлении позволило получить отборное соотношение в трехмерном осесимметричном случае. Нсосссимстричная форма, характерная, например, для льда требует выполнения условия разрешимости в каждой азимутальной гармонике, что значительно усложняет задачу аналитического определения критерия отбора. На данный момент в литературе отсутствует общее аналитическое решение задачи отбора скорости для нсосссиммстричных трехмерных форм дендритов.
Большой интерес представляет теоретическое моделирование формы кристалла при известных значениях переохлаждения и пересыщения расплава. Такая задача решена в пределе малых скоростей роста, полученное решение представляет собой сферу, искаженную наложением анизотропии поверхностной энергии. Для определения устойчивой формы поверхности Маллинс и Секерка предложили накладывать возмущение в виде различных гармоник сферических функций. Также известно, что при увеличении переохлаждения кристаллы принимают дендритную форму, где каждый ствол развитого дендрита имеет форму близкую к параболоиду (аналитическое решение Иванцова - параболоид вращения).
Целью данной работы является аналитическое описание нелинейной динамики кристаллизационных процессов, в том числе при высоких скоростях роста.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
1. Построить теоретическую модель кристаллизации дендритных кристаллов, как для первичных дендритов (в окрестности вершины) так и для вторичных боковых ветвей.
2. Теоретически определить время нестационарной стадии роста, сравнить нестационарный период с общим временем затвердевания всего образца при разных внешних параметрах.
3. Вычислить тепловой и концентрационный интегральные вклады в общее интсгро-диффсрснциалыюс уравнение движения границы раздела фаз, в случае, когда поверхность дендрита задастся эллиптическим параболоидом. Получить предельный переход к известному ранее беспримесному решению Хорвся-Кана.
4. Получить распределения температуры и примеси в окрестности вершины дендрита, растущего в форме эллиптического параболоида для малых и больших скоростей роста.
5. Вывести отборное соотношение, определяющее скорость роста и диаметр вершины для дендрита в форме эллиптического параболоида.
6. Исследовать форму поверхности дендрита в двумерном и трехмерном случаях в пределе больших скоростей кристаллизации.
Научная новизна:
1. Разработана теоретическая модель, позволяющая оценивать время нестационарной стадии дендритного роста для затвердевания однокомпонентного расплава.
2. Определена длительность нестационарного периода роста вторичных ветвей дендрита.
3. Получен критерий отбора для дендрита, растущего в форме эллиптического параболоида. Показано, что скорость роста и средний диаметр вершины для дендрита, имеющего форму эллиптического параболоида, заметно отличаются от соответствующих характеристик дендрита, имеющего форму параболоида вращения.
4. Аналитически выведено уравнение для трехмерной формы дендрита в пределе больших скоростей роста, показано влияние анизотропии поверхностной энергии.
5. Построена изотропная форма дендрита в пределе больших скоростей роста, с учетом малых интегральных вкладов.
Практическая значимость. Полученные в работе результаты уточняют представления о физической природе дендритной кристаллизации, в том числе о роете дендритов в форме эллиптического параболоида и высокоскоростной кристаллизации. Результаты применимы в различных разделах науки, от физики материалов и металлурги до геофизики.
Методология и методы исследования. В работе используются методы математического моделирования дендритного роста на основе уравнений тепло и массопсрсноса с подвижными границами, а также метод граничных интегральных уравнений, построенных при помощи функции Грина.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Распределения тепла и концентрации примеси для дендрита, растущего в форме эллиптического параболоида, определяются методом граничных интегральных уравнений для различных скоростей роста дендрита.
2. Способ построения отборного соотношения для дендрита, растущего в форме эллиптического параболоида, позволяет получить зависимости скорости роста и двух радиусов вершины от переохлаждения по отдельности.
3. Форма поверхности дендрита в пределе больших скоростей роста асимптотически стремится к сфере с наложенной асимметрией поверхностной энергии.
4. Решение физико-математической модели начальной нестационарной стадии роста дендритов описывает время достижения постоянной скорости роста...
Актуальность темы. Процессы кристаллизации возникают в различных областях: от металлургического производства до геологии и метеорологии. Когда металлическая деталь изготавливается методом литья, структура, образующаяся сразу после затвердевания, определяет многие свойства готового изделия. Наличие дефектов влияет на механические свойства, а колебания в химическом составе приводят к различным коррозионным и усталостным свойствам в разных частях изделия. В промышленности важной является задача получения металла в твердом состоянии, однородного по химическому составу и нс содержащего большого количества механических дефектов, для того, чтобы готовое изделие обладало определенными, одинаковыми во всем объеме физическими свойствами. Чтобы решить эту задачу необходимо понять связь структуры образующейся твердой фазы с внешними, контролируемыми условиями, такими как степень переохлаждения или концентрации примесей в затвердевающей жидкости.
Форма образующейся микроструктуры будет зависеть как от температурных условий охлаждения, так и от химического состава. Теплопроводность и конвекция определяют локальное распределение температуры и, тем самым, скорость роста и морфологическую устойчивость.
Математическое описание процессов дендритной кристаллизации основывается на уравнениях тепло- и массопсрсноса, записываемых во всех присутствующих фазах, и граничных условиях к ним. Решение задач математического моделирования фазовых переходов осложняется присутствием подвижных границ, перемещающихся с заранее неизвестной скоростью.
В настоящей работе исследуется наиболее общее интсгро-диффс- рснциалыюс уравнение, полученное методом граничных интегралов и определяющее связь между формой поверхности растущего дендрита и движущей силой кристаллизации. Данный метод основывается на том, чтобы для описания температурного и концентрационного поля, порожденных распределением источников (подвижная поверхность фазового перехода выделяет скрытую теплоту и примесь в процессе затвердевания), подсчитывать эффект от каждой элементарной части источника, задаваемый функцией Грина и затем брать интеграл по поверхности раздела фаз. Таким образом, метод граничного интеграла позволяет перейти от краевой задачи с подвижными границами к одному интегро-дифференциальному уравнению, в которое форма поверхности входит явным образом.
Степень разработанности темы исследования. Решение граничного интегрального уравнения или эквивалентной ему краевой задачи позволяет получить зависимость внешних условий от безразмерного числа Пекле, в которое входят одновременно диаметр вершины и скорость роста. Чтобы получить эти параметры независимо, необходимо найти устойчивую скорость роста. В двумерном случае роста параболического дендрита известно как численное так и аналитическое решение задачи отбора скорости, в то же время большая часть экспериментов демонстрирует трехмерную форму растущих дендритов. Усреднение двумерной поверхностной энергии в азимутальном направлении позволило получить отборное соотношение в трехмерном осесимметричном случае. Нсосссимстричная форма, характерная, например, для льда требует выполнения условия разрешимости в каждой азимутальной гармонике, что значительно усложняет задачу аналитического определения критерия отбора. На данный момент в литературе отсутствует общее аналитическое решение задачи отбора скорости для нсосссиммстричных трехмерных форм дендритов.
Большой интерес представляет теоретическое моделирование формы кристалла при известных значениях переохлаждения и пересыщения расплава. Такая задача решена в пределе малых скоростей роста, полученное решение представляет собой сферу, искаженную наложением анизотропии поверхностной энергии. Для определения устойчивой формы поверхности Маллинс и Секерка предложили накладывать возмущение в виде различных гармоник сферических функций. Также известно, что при увеличении переохлаждения кристаллы принимают дендритную форму, где каждый ствол развитого дендрита имеет форму близкую к параболоиду (аналитическое решение Иванцова - параболоид вращения).
Целью данной работы является аналитическое описание нелинейной динамики кристаллизационных процессов, в том числе при высоких скоростях роста.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
1. Построить теоретическую модель кристаллизации дендритных кристаллов, как для первичных дендритов (в окрестности вершины) так и для вторичных боковых ветвей.
2. Теоретически определить время нестационарной стадии роста, сравнить нестационарный период с общим временем затвердевания всего образца при разных внешних параметрах.
3. Вычислить тепловой и концентрационный интегральные вклады в общее интсгро-диффсрснциалыюс уравнение движения границы раздела фаз, в случае, когда поверхность дендрита задастся эллиптическим параболоидом. Получить предельный переход к известному ранее беспримесному решению Хорвся-Кана.
4. Получить распределения температуры и примеси в окрестности вершины дендрита, растущего в форме эллиптического параболоида для малых и больших скоростей роста.
5. Вывести отборное соотношение, определяющее скорость роста и диаметр вершины для дендрита в форме эллиптического параболоида.
6. Исследовать форму поверхности дендрита в двумерном и трехмерном случаях в пределе больших скоростей кристаллизации.
Научная новизна:
1. Разработана теоретическая модель, позволяющая оценивать время нестационарной стадии дендритного роста для затвердевания однокомпонентного расплава.
2. Определена длительность нестационарного периода роста вторичных ветвей дендрита.
3. Получен критерий отбора для дендрита, растущего в форме эллиптического параболоида. Показано, что скорость роста и средний диаметр вершины для дендрита, имеющего форму эллиптического параболоида, заметно отличаются от соответствующих характеристик дендрита, имеющего форму параболоида вращения.
4. Аналитически выведено уравнение для трехмерной формы дендрита в пределе больших скоростей роста, показано влияние анизотропии поверхностной энергии.
5. Построена изотропная форма дендрита в пределе больших скоростей роста, с учетом малых интегральных вкладов.
Практическая значимость. Полученные в работе результаты уточняют представления о физической природе дендритной кристаллизации, в том числе о роете дендритов в форме эллиптического параболоида и высокоскоростной кристаллизации. Результаты применимы в различных разделах науки, от физики материалов и металлурги до геофизики.
Методология и методы исследования. В работе используются методы математического моделирования дендритного роста на основе уравнений тепло и массопсрсноса с подвижными границами, а также метод граничных интегральных уравнений, построенных при помощи функции Грина.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Распределения тепла и концентрации примеси для дендрита, растущего в форме эллиптического параболоида, определяются методом граничных интегральных уравнений для различных скоростей роста дендрита.
2. Способ построения отборного соотношения для дендрита, растущего в форме эллиптического параболоида, позволяет получить зависимости скорости роста и двух радиусов вершины от переохлаждения по отдельности.
3. Форма поверхности дендрита в пределе больших скоростей роста асимптотически стремится к сфере с наложенной асимметрией поверхностной энергии.
4. Решение физико-математической модели начальной нестационарной стадии роста дендритов описывает время достижения постоянной скорости роста...
В заключении приведены основные результаты работы, которые заключаются в следующем:
1. Методом граничных интегралов рассчитаны поля температуры и концентрации примеси вокруг дендрита, имеющего форму эллиптического параболоида, как для малых, так и для больших скоростей роста. Найдено общее переохлаждение, реализующееся на поверхности неизотермического дендрита, растущего в бинарной системе. Полученные решения допускают предельные переходы к ранее известным. Показано, что для дендрита, растущего в форме параболоида вращения в набегающем потоке жидкой фазы, температура на оси симметрии убывает заметно медленнее, чем для дендрита, имеющего форму эллиптического параболоида.
2. Предложен полуэмпнрнчсскнй метод получения отборного соотношения для псоссснммстрнчпых форм дендритов. Для определения трех неизвестных характеристик вершины дендрита, растущего в форме эллиптического параболоида (скорости роста и сроднен кривизны поверхности, в которую входят два радиуса вписанных плоских окружностей), предлагается использовать три уравнения: баланс переохлаждений, критерий отбора устойчивой скорости в одной нз плоскостей и соотношение радиусов вписанных окружностей. Поскольку растущий с постоянной скоростью дендрит сохраняет свою форму, отношение радиусов вписанных окружностей также должно быть константой.
3. Найдена асимптотика формы поверхности дендритов, растущих при высоких переохлаждениях. Оценка слагаемых общего уравнения, полученного методом граничных интегралов, показала, что при возрастании термического и концентрационного чисел Пекле интегральные вклады, зависящие от формы поверхности, стремятся к пулю. В таком случае форма поверхности определяется термодинамическим условном равновесия па границе раздела фаз. Если поверхностная энергия изотропна, то дендрит приобретает сферическую форму. Анизотропия поверхностной энергии искажает сферические формы в соответствии с симметрией растущего кристалла.
4. Проведено численное моделирование формы поверхности дендритов, растущих при высоких переохлаждениях. Выполнено сравнение с асимптотическим приближенном.
5. Получена оценка времени нестационарной стадии роста вершины дендрита, а также его вторичных ветвей. Из модифицированного уравнения Гнббса-Томсона, учитывающего зависимость температуры поверхности от кривизны, поверхностной энергии, скорости и ускорения роста дендрита, аналитически рассчитана зависимость скорости роста от времени, при фиксированной (по зависящей от переохлаждения) кривизне. Для малых чисел Пекле выведена зависимость времени нестационарной стадии от переохлаждения. Показано, что полученные значения продолжительности нестационарного периода роста дендрита могут быть меньше общего времени затвердевания всего образца.
1. Методом граничных интегралов рассчитаны поля температуры и концентрации примеси вокруг дендрита, имеющего форму эллиптического параболоида, как для малых, так и для больших скоростей роста. Найдено общее переохлаждение, реализующееся на поверхности неизотермического дендрита, растущего в бинарной системе. Полученные решения допускают предельные переходы к ранее известным. Показано, что для дендрита, растущего в форме параболоида вращения в набегающем потоке жидкой фазы, температура на оси симметрии убывает заметно медленнее, чем для дендрита, имеющего форму эллиптического параболоида.
2. Предложен полуэмпнрнчсскнй метод получения отборного соотношения для псоссснммстрнчпых форм дендритов. Для определения трех неизвестных характеристик вершины дендрита, растущего в форме эллиптического параболоида (скорости роста и сроднен кривизны поверхности, в которую входят два радиуса вписанных плоских окружностей), предлагается использовать три уравнения: баланс переохлаждений, критерий отбора устойчивой скорости в одной нз плоскостей и соотношение радиусов вписанных окружностей. Поскольку растущий с постоянной скоростью дендрит сохраняет свою форму, отношение радиусов вписанных окружностей также должно быть константой.
3. Найдена асимптотика формы поверхности дендритов, растущих при высоких переохлаждениях. Оценка слагаемых общего уравнения, полученного методом граничных интегралов, показала, что при возрастании термического и концентрационного чисел Пекле интегральные вклады, зависящие от формы поверхности, стремятся к пулю. В таком случае форма поверхности определяется термодинамическим условном равновесия па границе раздела фаз. Если поверхностная энергия изотропна, то дендрит приобретает сферическую форму. Анизотропия поверхностной энергии искажает сферические формы в соответствии с симметрией растущего кристалла.
4. Проведено численное моделирование формы поверхности дендритов, растущих при высоких переохлаждениях. Выполнено сравнение с асимптотическим приближенном.
5. Получена оценка времени нестационарной стадии роста вершины дендрита, а также его вторичных ветвей. Из модифицированного уравнения Гнббса-Томсона, учитывающего зависимость температуры поверхности от кривизны, поверхностной энергии, скорости и ускорения роста дендрита, аналитически рассчитана зависимость скорости роста от времени, при фиксированной (по зависящей от переохлаждения) кривизне. Для малых чисел Пекле выведена зависимость времени нестационарной стадии от переохлаждения. Показано, что полученные значения продолжительности нестационарного периода роста дендрита могут быть меньше общего времени затвердевания всего образца.
Подобные работы
- КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ ПЕРЕОХЛАЖДЕННОЙ ЖИДКОСТИ В МОЛЕКУЛЯРНО-ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Диссертации (РГБ), теплоэнергетика и теплотехника. Язык работы: Русский. Цена: 4395 р. Год сдачи: 2016 - НЕЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС В ПРОЦЕССАХ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ И ИСПАРЕНИЯ С ДВУХФАЗНОЙ ЗОНОЙ
Авторефераты (РГБ), физика. Язык работы: Русский. Цена: 250 р. Год сдачи: 2013 - КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ ПЕРЕОХЛАЖДЕННОЙ ЖИДКОСТИ В МОЛЕКУЛЯРНО-ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Авторефераты (РГБ), теплоэнергетика и теплотехника. Язык работы: Русский. Цена: 250 р. Год сдачи: 2016 - Математическое моделирование роста кристаллов на промежуточной и заключительной стадиях фазового превращения
Диссертации (РГБ), теплоэнергетика и теплотехника. Язык работы: Русский. Цена: 4335 р. Год сдачи: 2021