Введние
1 Постановка задачи 6
2 История исследования 7
2.1 Наилучшее приближение неограниченных операторов
(С.Б.Стечкин (1967) [1]) 8
2.2 Наилучшее приближение операторов дифференцирования
(В. В. Арестов (1967) [3]) 10
2.3 Наилучшее приближение операторов дифференцирования в
пространстве Ь2 (Ю. Н. Субботин, Л. В. Тайков (1968) [4]) ... 11
Основная часть 13
3 Доказательство теорем 1 и 2 13
3.1 Оценка сверху в теореме 1 14
3.2 Доказательство теоремы 2 16
3.3 Оценка снизу в теореме 1 19
Заключение 21
Список использованных источников и литературы 22
1 Постановка задачи
II/II = QRnf (x)2dx) .
Важным инструментом исследования задач в пространстве L2(Rn) является преобразование Фурье [8, гл. 1, §2], определяемое формулой
7(х) = тД [ fWe-^d!.
ДУ) 2 jRn
Оператор преобразования Фурье является унитарным оператором на L2(Rny, это значит, что он отображает пространство L2(Rn) на себя и, более того, (согласно теореме Планшереля)
Ш = Wf II. f е L2(Rn).
W4 = {f G L2, A2f G L2} есть класс комплекснозначных функций f принадлежащих пространству L2, таких, что оператор Лапласа второго порядка от этих функций также принадлежит пространству L2. Точнее, W4 есть пространство функций f G L2 таких, что произведение ||х||4/(х) G L2. Обратное преобразование Фурье функции ||х|4У(х) как раз и есть A2f.
Q4 = {f G W4, ||A2f || 6 1} есть класс комплекснозначных функций f принадлежащих пространству W4, таких, что норма оператора Лапласа второго порядка от этих функций ||A2f || не превосходит единицы.
W2 = {f G L2, Af G L2} есть класс комплекснозначных функций f принадлежащих пространству L2, таких, что оператор Лапласа от этих функций также принадлежит пространству L2. Точнее, так же, как и выше, W2 есть пространство функций f G L2 таких, что ||х||2f(x) G L2. Обратное преобразование Фурье функции —||х||2/(х) как раз и есть Af. Имеет место вложение W4 С W2. В самом деле, пусть f G W4. Запишем нхн2лх)=! ^хХ|4 +|x|4f~(x).
Отношение ||х||2/(1 + ||х|4) на Rn ограничено, а произведение (1 + ||х|4) х Дх) принадлежит пространству L2(Rn), поэтому ||х||2/(х) G L2(Rn). Так что, действительно, W4 С W2.
Магистерская диссертация посвящена задаче о вычислении наилучшего приближения оператора Лапласа первого порядка Д множеством операторов B(N) на классе Q4. Для линейного ограниченного оператора S в пространстве L2(Rn) рассмотрим следующую величину:
U(S) = 8ир{||Д/ - S(J )||: f е Q4}. (1.1)
Целью данной работы является нахождение величины
E (N) = inf U (S) = inf sup Д) - S(f)
IISW II^W ЦД2/nd
где нижняя грань в (1.2) берется по всем линейным ограниченным операторам S в пространстве L2(Rn), норма которых не превосходит наперед заданного числа N, т. е. по множеству операторов S G B(N).
Теорема 1. При N = , ц > р, для величины (1.2) справедливо ра
венство
E (h ) - I -)
В ходе доказательства данной теоремы возникнет необходимость получить оценку нормы оператора Лапласа первого порядка через норму оператора Лапласа второго порядка и норму исходной функции в пространстве L2(Rn), поэтому сформулируем следующую теорему.
Теорема 2. На множестве W4 имеет место точное неравенство
||ДЛ| 6 ||f||i|^2f||i, f е W4. (1.4)
2 История исследования
Впервые задача о наилучшем приближении линейных неограниченных операторов линейными ограниченными операторами была поставлена и решена С. Б. Стечкиным. Полученные в этом направлении результаты показывают, что даже неограниченные операторы могут хорошо приближаться ограниченными операторами на достаточно узких классах. Первый доклад С. Б. Стечкина по данной тематике был сделан на Всесоюзной конференции по вычислительной математике в 1965 году, а первая публикация задачи
Некоторые полученные здесь результаты будут кратко представлены в следующих подразделах.
В магистерской диссертации изучены две родственные экстремальные задачи для оператора Лапласа в пространстве 1./с/ измеримых функций n > 2 переменных, квадрат которых суммируем на всем евклидовом пространстве Rn.
1. Вариант задачи Стечкина о наилучшем приближении оператора Лапласа Д линейными ограниченными операторами с нормой, не превосходящей заданного числа N, на классе Q4 = {f G L2(Rn): ||Д2/||т2(кп) < 1} функций f G LfR11), норма второй степени оператора Лапласа которых ограничена единицей. Задача состоит в вычислении величины наилучшего приближения E(N) и отыскании наилучшего аппроксимирующего оператора.
2. Точное неравенство Колмогорова Д/|| < Су/If|| х ||Д2f|| на множестве W4 = [f G Lf/Rj: Д1 f G L2(Rn)} функций f G Lf/Rnj, вторая степень оператора Лапласа которых также принадлежит L^/R").
Для решения поставленных задач была использованна известная схема рассуждений, восходящая к С. Б. Стечкину, которая дает оценку Щ/N E(N) > C. В работе преъявлен конкретный аппроксимирующий оператор S*, который дает оценку сверху для величины E(N), а как следствие, и для константы C, и семейство функций {fa}j>o С W4, которое дает оценку снизу константы C, а значит, и величины E(N). Как для E(N), так и для C эти оценки совпали. Тем самым получено решение обеих задач.
В начале диссертации изложены результаты первых работ в этой тематике С. Б. Стечкина и В. В. Арестова, а также статьи Ю. Н. Субботина и Л. В. Тайкова, имеющие непосредственное отношение к исследованиям автора.
