Мотивация исследования. Исторически человечество всегда стремилось к созданию и развитию новых материалов. В самом деле, “информационная эра”, в которой мы живем, зародилась на основе полупроводниковых процессоров и технологий магнитной записи, которые успешно развиваются вот уже на протяжении 40 лет. Экспоненциальный рост, как мощности процессоров, так и плотности записи информации стал возможен благодаря способности контролировать свойства материалов даже на атомных масштабах. Бурный рост возможностей вычислительной техники естественным образом сопровождается развитием математических моделей и численных методов для эффективного использования ресурсов многопроцессорных систем. Это позволяет исследователям проводить реалистичное моделирование физических свойств современных материалов.
Одним из важнейших достижений современной вычислительной физики является разработка теории динамического среднего поля (DMFT)1для решения модели Хаббарда, которая позволяет исследовать системы с сильными корреляционными эффектами. Эти материалы активно исследуются в последние годы вследствие открытия в них явлений высокотемпературной сверхпроводимости, колоссального магнетосопротивления и других интересных свойств, имеющих большие перспективы для практических применений. Основные вычислительные и временные затраты в методе DMFT приходятся на решение эффективной примесной модели Андерсона. Вне зависимости от выбранного метода решения исследователь сталкивается со следующими проблемами: обработка больших объёмов данных, организация расчётов на многопроцессорных системах и вычисление сложных корреляционных функций для воспроизведения результатов экспериментов.
Цель диссертационной работы заключается в разработке вычислительного комплекса для исследования электронной структуры и магнитных свойств реальных физических систем в рамках теории динамического среднего поля методом точной диагонализации. Данный комплекс позволяет эффективно использовать ресурсы современных вычислительных систем и вести расчеты физических свойств сложных соединений на нескольких сотнях и тысячах процессоров.
В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решаются следующие задачи:
• создание программного комплекса, позволяющего проводить расчёт электронных и магнитных свойств методом точной диагонализации. Разработанный комплекс состоит из следующих модулей:
— модуль распределенного хранения массивов большого объёма в оперативной памяти (размером больше 20 Гбайт);
— модуль перемножения сверхбольших разреженных матриц (размерностью более 108х 108) на вектор;
— модуль межпроцессных коммуникаций, позволяющий минимизировать обмен данными, хранимыми распределенно;
• тестирование предложенной численной схемы с использованием модели Хаббарда на квадратной решётке для демонстрации эффективности и определения границ применения;
• создание on-line сервиса, который позволяет широкому кругу исследователей проводить расчёты электронной структуры сильнокоррелированных систем через сеть Internet;
• применение разработанного программного комплекса для расчёта электронной и магнитной структуры реальных физических систем:
— исследование электронной структуры соединения Sr2RuO4,кото¬рое демонстрирует значительные корреляционные эффекты;
— моделирование электронных и магнитных свойств системы, состоящей из отдельных атомов кобальта, размещенных на платиновой подложке, с целью микроскопического описания экспериментального спектра проводимости вблизи уровня Ферми.
Автором на защиту выносятся следующие положения:
1. предложенный формат распределенного хранения матрицы гамильтониана позволяет эффективно обрабатывать матрицы сверхбольшой размерности на многопроцессорных вычислительных системах;
2. разработанная вычислительная схема метода точной диагонализации для расчёта электронной структуры на распределённых вычислительных системах позволила впервые проводить исследование сильнокоррелированных систем с числом эффективных орбиталей в гамильтониане модели Андерсона равным N = 17;
3. в рамках исследования электронной структуры соединения Зт^КиО^ была показана важность учёта недиагональных элементом матрицы кулоновского взаимодействия;
4. при помощи разработанного комплекса решена многочастичная модель, описывающая электронные и магнитные свойства поверхностной нано-системы Со/Р1(111). Это позволило дать микроскопическое объяснение особенностей экспериментального спектра проводимости вблизи уровня Ферми, и проследить механизмы формирования магнитного момента атома кобальта.
Актуальность работы
В существующих пакетах программ, решающих задачу ЭМЕТ, уже предусмотрена возможность применения параллельных вычислений, однако, стремительное развитие современных супер-ЭВМ ставит проблему полного использования их мощностей для решения задач предсказательного моделирования. Задача оптимизации распределения потоков команд и данных на вычислительных системах, состоящих из тысяч процессоров, радикально отличается от параллельных вычислений на кластерах с несколькими десятками ядер. Эта задача не имеет единого универсального решения, пригодного для любых пакетов программ и типов вычислительных комплексов. Для каждой супер-ЭВМ необходимо учесть особенности ее архитектуры и соответственно перестроить вычислительный алгоритм для достижения наилучшей эффективности. Разработка подобного вычислительного комплекса и обеспечивает актуальность работы.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1. при помощи разработанного вычислительного комплекса на основе метода точной диагонализации впервые было проведено исследование сильнокоррелированных систем в области низких температур с числом эффективных орбиталей в гамильтониане модели Андерсона равным N = 17;
2. проблема экспоненциальной зависимости размерности задачи от числа эффективных орбиталей была частично сведена к росту количества требуемых процессоров при помощи организации распределённого хранения разреженных матриц большой размерности;
3. разработан новый формат хранения матрицы гамильтониана и метод её перемножения на вектор, что позволило проводить реалистичное моделирование современных материалов;
4. в рамках метода точной диагонализации впервые была использована четырёхоператорная форма матрицы кулоновского взаимодействия;
5. впервые в рамках теории динамического среднего поля было учтено влияние недиагональных элементов матрицы кулоновского взаимодействия на спектр электронных возбуждений соединения Зг2КиО4;
6. впервые проведено исследование электронных свойств поверхностной наносистемы Со/Р1(111) в рамках модели Андерсона методом точной диагонализации, которое позволило обнаружить орбитальную поляризацию спектра проводимости.
Практическая значимость работы. Разработанная библиотека процедур и функций предназначенная для работы с большими разреженными матрицами на распределённых многопроцессорных системах позволяет проводить диагонализацию матриц размерностью более 5 х 108. Данная библиотека содержит в себе формат распределённого хранения разреженных матриц, процедуру заполнения матрицы гамильтониана, процедуру перемножения разреженной матрицы на вектор. На основе созданной библиотеки автором работы был разработан вычислительный комплекс метода точной диагонализации, позволяющий проводить исследование сильнокоррелированных систем в области низких температур. Библиотека может быть использована для решения широкого круга задач науки и техники.
Апробация работы была выполнена на кафедре теоретической физики и прикладной математики УрФУ и в Университетском центре параллельных вычислений УрФУ. Основные положения диссертации докладывались на:
1. заседаниях кафедры теоретической физики и прикладной математики;
2. семинаре «Распределённые и высокопроизводительные вычисления» (Новосибирск 2008);
3. международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании — 2008» (Алматы 2008);
4. второй международной научной конференции «Суперкомпьютерные системы и их применение» (Минск 2008).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 6 печатных работах, из них 2 статьи в рецензируемых журналах, 3 статьи в сборниках трудов конференций и 1 тезис доклада.
Публикации в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук:
• Искаков С. Н., Мазуренко В. В. Эффективное решение уравнений теории динамического среднего поля на многопроцессорных системах // Вычислительные методы и программирование. 2009. Т. 9, № 2. С. 281-285.
• Mazurenko V. V., Iskakov S. N., Rudenko A. N. et al. Renormalized spectral function for Co adatom on the Pt(111) surface //Phys. Rev. B. 2010. — Nov. Vol. 82, no. 19. P. 193403.
Структура и объем диссертации: Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 112 страниц, включая 30 рисунков и 4 таблицы, список цитируемой литературы представлен из 81 наименования.
Данная работа была выполнена на кафедре теоретической физики и прикладной математики Уральского Федерального Университета при поддержке гранта «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1/779, гранта Президента Российской Федерации МК-1162.2009.2, гранта Федерального агентства по науке и инновациям № 02.740.11.0217.
На основе проведённых исследований в данной диссертационной работе сформулированы следующие результаты и выводы:
• была разработана библиотека процедур и функций для организации эффективной работы с разреженными матрицами большой размерности. Данная библиотека может использоваться для решения современных задач науки и техники и содержит в своем составе:
— формат хранения больших разреженных матриц на многопроцессорных распределённых вычислительных системах. Формат позволяет эффективно обрабатывать матрицы размерностью больше, чем 5 х 108за счёт использования алгоритмов распределенного хранения данных, что более чем в 3 раза превосходит возможности существующих численных схем;
— процедуру эффективного заполнения матрицы гамильтониана. В рамках разработанного формата хранения, производится заполнение матрицы гамильтониана в параллельном режиме без необходимости проводить межпроцессорные коммуникации. Таким образом, время выполнения алгоритма уменьшается пропорционально числу задействованных процессоров вычислительной системы, что обеспечивает производительность, близкую к идеальной;
— процедуру перемножения матрицы гамильтониана на вектор. Использование ряда разработанных в диссертационном исследовании методик для осуществления межпроцессорных коммуникаций приводит к ускорению работы алгоритма на р-процессорной системе, равному Зр~ 0.7 • р при диагонализации матриц размерностью более 1 х 108. Это является существенным достижением в области параллельных алгоритмов для распределенных вычислительных систем;
• на базе разработанной библиотеки был создан программный комплекс для расчёта электронной структуры и магнитных свойств современных сильнокоррелированных материалов в рамках теории динамического среднего поля методом точной диагонализации. Комплекс впервые позволил проводить исследования в области низких температур с учётом полной четырёхындексной матрицы кулоновского взаимодействия;
• впервые в рамках теории динамического среднего поля методом точной диагонализации был проведено исследование модели Хаббарда на квадратной решетке для числа эффективных орбиталей N = 17. На этом примере была выполнена оценка производительности и масштабируемости разработанной численной схемы в зависимости от размерности задачи, показавшая результаты, не уступающие современным алгоритмам по решению уравнений теории динамического поля для систем с общей памятью;
• в рамках созданного программного комплекса разработан модуль, позволяющий исследователю выделять и анализировать вклад конкретного квантово-механического состояния в энергию системы. Это дает возможность получить больше информации об элементарных возбуждениях, происходящих в исследуемой системе. Тем самым достигается более глубокое понимание электронных и магнитных свойств сильнокоррелированных систем;
• проведена апробация разработанного программного комплекса на модельных и реальных системах. Исследована электронная структура сильнокоррелированного соединения Sr2RuO4.Сравнение значений эффективной массы носителей заряда, вычисленных для различных видов взаимодействия, позволило сделать вывод о важности учёта недиагональных элементов матрицы кулоновского взаимодействия;
• проведено моделирование физических свойств наносистемы, состоящей из атома кобальта на платиновой поверхности, Co/Pt(111). В рамках исследования впервые было учтено влияние всех элементов матрицы кулоновского взаимодействия. Полученная в результате расчётов спек-тральная функция системы позволила объяснить особенности экспериментального спектра проводимости вблизи уровня Ферми. Для микроскопического анализа процесса формирования магнитного момента были вычислены многочастичные спиновые корреляционные функции. Проведенное исследование позволяет проследить процесс возникновения магнетизма в сильнокоррелированных системах и может быть использовано для изучения других магнитных систем, характеризующихся сильными электрон-электронными корреляциями;
• разработан on-line сервис, предоставляющий широкому кругу исследователей возможность решать уравнения теории динамического среднего поля методом точной диагонализации как в учебных, так и научных целях. On-line сервис предоставляет возможность интерактивного определения параметров гамильтониана и визуализировать результаты моделирования.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
