НЕЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС В ПРОЦЕССАХ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ И ИСПАРЕНИЯ С ДВУХФАЗНОЙ ЗОНОЙ
|
Актуальность проблемы. Математическое описание процессов тепло- и массопереноса в задачах затвердевания и испарения при наличии подвижных межфазных границ берет свое начало с конца 19 века с работ Джозефа Стефана. В настоящее время этот подход применяется для описания широкого класса физических явлений, связанных с наличием движущихся границ. Так, например, стефановская постановка задачи о кристаллизации льда может быть использована для описания процессов направленного затвердевания расплавов в металлургии. Это объясняется схожестью физических процессов замерзания воды и затвердевания сплавов. Фронтальная модель Стефана также пригодна для описания условий кристаллизации земного ядра или процессов испарения летучих соединений с поверхностей пленок жидкости при учете соответствующих физических особенностей этих процессов.
Математическое моделирование процессов затвердевания и испарения основывается на уравнениях тепло- и массопереноса, записываемых во всех фазах системы, и граничных условиях, имеющих смысл непрерывности, скачка или баланса температурного и концентрационного полей. При этом математические модели реальных процессов, встречающихся в природе или технологических условиях, осложняется наличием одной или нескольких подвижных границ фазовых переходов, которые двигаются с заранее неизвестной скоростью. Модели таких систем также осложняются нелинейным транспортом тепла и примеси в гетерогенных системах, конвективными и гидродинамическими течениями сред, а также многообразием возможных граничных и начальных условий процессов. Поэтому универсальных методов решения задач подобного типа не существует и в каждой отдельной ситуации требуется разработка оригинальных способов и подходов к их решению. При этом численные методы, основывающиеся на фиксации большинства параметров, не во всех ситуациях могут определять влияние различных системных характеристик на решение задачи. Во многих ситуациях при этом для проверки их результатов требуется разработка сразу нескольких схем. Это обуславливает необходимость разработки универсальных методов решения задач с подвижными границами, применимых к определенным группам процессов - к стационарным автомодельным и нестационарным, фронтальным и при наличии области фазового перехода, осложненных неустойчивостями, гидродинамикой и конвекцией. Разработке таких методов решения при наличии области фазового перехода в тепломассообменных процессах затвердевания и испарения веществ с движущимися межфазными границами посвящена настоящая диссертационная работа. Кроме этого, в диссертации рассмотрен ряд задач, описывающих природные и технологические процессы, решение которых само по себе имеет важное практическое значение. Так, например в работе разработаны аналитические методах решения квазистационарных задач о затвердевании бинарных расплавов с нелинейной фазовой диаграммой, о кристаллизации трехкомпонентных систем, проведен анализ устойчивости локально плоской межфазной границы земного ядра и определена возможная структура ее области фазового перехода, разработаны методы решения автомодельных и нестационарных задач при наличии одной или нескольких двухфазных зон, впервые исследована конвективная неустойчивость области фазового перехода, изучена динамика роста дендритных структур в такой зоне и разработаны методы решения задач об испарении летучих соединений, когда фазовый переход протекает в области жидкость - твердое тело.
Цель работы. Аналитическое описание нелинейного тепломассопереноса в процессах кристаллизации и испарения при наличии движущейся области фазового перехода.
В рамках поставленной цели исследовались:
- Процессы затвердевания бинарных и трехкомпонентных расплавов с постоянной скоростью при наличии области фазового перехода. Здесь цель состояла в обобщении ранее известной теории кристаллизации бинарных систем на случай нелинейной фазовой диаграммы и в разработке новой теории (и аналитических методов решения), описывающей затвердевание трехкомпонентных расплавов.
- Процессы затвердевания бинарных расплавов с постоянной скоростью в условиях кристаллизации земного ядра. Здесь первоначальной целью являлась задача об определении ответа на вопрос: является ли межфазная граница ядра переохлажденной? Положительный ответ на него поставил следующую задачу - изучение условий нарушения морфологической устойчивости локально плоской границы твердая фаза - расплав и определение областей изменения параметров системы, где процесс морфологически неустойчив. Решение этих задач привело к вопросу о построении теории двухфазной зоны, описывающей условия затвердевания земного ядра. Развитые в работе методы и модели также применимы для описания конвективной кристаллизации в геофизических процессах замерзания воды и в металлургических процессах затвердевания сплавов.
- Процессы нестационарного затвердевания бинарных систем при наличии одной или нескольких областей фазового перехода. Сначала была развита аналитическая теория, моделирующая соответствующий автомодельный процесс. Затем, теория двухфазной зоны была обобщена на случай кристаллизации льда при развитии в системе ложного дна, также представляющего собой протяженную область фазового перехода. Успешное решение этого вопроса позволило поставить задачу о взаимодействии фазовых переходов и вызванном им структурообразовании льда.
- Процессы конвективной неустойчивости области фазового перехода, вызванные течением жидкости в океане и в двухфазной зоне. Для решения этой задачи был проведен линейный анализ конвективной морфологической неустойчивости и получен новый критерий устойчивой кристаллизации при наличии ламинарных и турбулентных течений жидкости в подледовом пространстве, который определяет условия возникновения каналов в области фазового перехода.
- Процессы дендритного роста в двухфазной зоне бинарных расплавов при наличии конвекции. Для определения отборного соотношения скорости роста дендритов был поставлен и решен целый ряд задач: были найдены квазистационарные решения в параболической системе координат, был проведен линейный анализ устойчивости относительно этих решений, было определено дисперсионное соотношение и выведен критерий микроскопической разрешимости, определяющий искомое отборное соотношение. Затем была решена задача о модификации теории на трехмерный случай параболоида вращения и проведено исследование о рамках применимости теории.
- Процессы изотермического и неизотермического испарения в газовую фазу в двухфазной системе жидкость - твердый материал. Сначала была поставлена и успешно решена задача об обобщении ранее известной асимптотической теории изотермического испарения на более широкий класс процессов. Успешное решение этой задачи, заключающееся в разработке ряда методов определения аналитических решений нелинейных моделей, позволило изучить нестационарные неизотермические процессы.
Научная новизна представленных материалов заключается в систематическом исследовании различных аспектов затвердевания и испарения вещества при наличии области фазового перехода и ряда нелинейных нестационарных явлений и процессов. В работе получены следующие новые результаты:
- Развиты аналитические методы решения термодиффузионной модели Стефана, описывающей квазистационарный процесс кристаллизации бинарных расплавов и растворов с областью фазового перехода при учете нелинейной фазовой диаграммы. Впервые определено явное решение нелинейной задачи при нулевом значении коэффициента распределения примеси и получена одноточечная задача Коши для концентрации примеси в случае произвольных значений этого коэффициента. Показано, что нелинейность фазовой диаграммы системы, приводящая к уменьшению температуры фазового перехода по сравнению с линейным случаем, ответственна за более интенсивный рост твердой фазы и увеличение протяженности двухфазной зоны. Продемонстрировано сохранение скейлинговых свойств области фазового перехода при учете нелинейного уравнения ликвидус.
- Впервые разработана: математическая модель и метод ее решения для описания квазистационарного затвердевания трехкомпонентных систем с двумя областями фазового превращения - основной и котектической двухфазными зонами. Определено, что ширина котектической области меньше, чем ширина основной, а концентрация примеси второго (добавочного к бинарной системе) примесного компонента возрастает в зоне котектики, достигает максимума в основной зоне, а далее убывает в ней.
- Найдены новые аналитические решения сферически-симметричных уравнений тепломассопереноса, описывающие фронтальную кристаллизацию земного ядра. Определено, что скорость роста ядра возрастает с увеличением неадиабатического теплового потока на границе жидкого ядра с мантией. Показано, что у границы ядра всегда существует концентрационное переохлаждение, а она сама морфологически неустойчива при учете натекания на нее конвектирующего расплава. Впервые проведен линейный анализ морфологической неустойчивости локально плоской межфазной границы земного ядра с учетом конвекции, позволивший определить новые дисперсионное соотношение и кривую нейтральной устойчивости. Развита и аналитически исследована математическая модель, описывающая квазистационарное затвердевание в условиях ядра Земли. Анализ решений позволил определить ряд параметров и свойств области фазового перехода.
- Найдено точное аналитическое решение нелинейной модели типа Стефана, описывающей автомодельное затвердевание бинарных расплавов с двухфазной зоной для установившихся стадий процесса. Определены явные зависимости концентрации примеси, температуры и доли твердой фазы от пространственно-временной автомодельной переменной. Продемонстрировано, что доля твердой фазы в области фазового перехода убывает с ростом автомодельной координаты.
- Впервые разработана математическая модель кристаллизации морской воды с областью фазового перехода при учете процесса эволюции ложного дна, также представляющего собой двухфазную зону. Модель учитывает возможность турбулизации жидкости в океане и нестационарность атмосферной температуры на поверхности льда. Определены аналитические решения этой нелинейной нестационарной модели - найдены распределения температуры и концентрации примеси, доли твердой фазы, координаты и скорости движения четырех границ фазовых превращений. Показано, что два встречных фазовых перехода до момента слияния их границ не взаимодействуют, а понижение температуры атмосферы приводит к ускорению движения межфазных границ и более быстрому смерзанию ледяных пластов.
- Путем сравнения данных полевых наблюдений и развиваемой теории впервые показано, что эволюция ложного дна связана с появлением столбчато- гранулированной структурах морского льда, в то время как замерзание льда сверху порождает его столбчатую структуру. Таким образом, структурные переходы во льду проинтерпретированы как результат взаимодействия встречных фазовых переходов. Показано, что тепловой поток, связанный с ростом ложного дна, оказывает существенное влияние на теплообмен между океаном и атмосферой.
- Впервые развита термодиффузионная математическая модель для исследования конвективной морфологической неустойчивости области фазового перехода при наличии ламинарных и турбулентных течений жидкости в океане. Выполнен анализ этой модели и найдены новые критерий морфологической устойчивости и кривая нейтральной устойчивости, определяющие условия возникновения каналов конвектирующей жидкости в анизотропной и неоднородной области фазового перехода. Показано, что область неустойчивости процесса увеличивается при турбулизации жидкости в океане около межфазной границы по сравнению с ламинарной моделью.
- Впервые определены точные аналитические решения термодиффузионной задачи о росте параболического дендрита в набегающем потоке жидкости. Выполнен анализ морфологической устойчивости найденных решений и определено дисперсионное соотношение. Выведено условие микроскопической разрешимости для рассматриваемого процесса из которого определено новое отборное соотношение для скорости роста дендрита. Развитая теория обобщает ранее известные модели дендритного роста. Выполнено обобщение на трехмерный случай и определены пределы применимости теории в зависимости от чисел Пекле и Рейнольдса.
- Впервые найдено точное аналитическое решение задачи об изотермическом испарении летучего компонента в газовую фазу в двухфазной системе жидкость - твердое тело. Определен поток испаряющегося вещества и показано, что граница растворения движется быстрее границы испарения. Теория обобщена на случай зависимости приведенного коэффициента испарения от граничной концентрации примеси и на случаи сферической и цилиндрической симметрий рабочего тела парового генератора. Впервые разработана математическая модель и построено ее точное аналитическое решение для процесса неизотермического испарения в системе газ - жидкость - твердое тело. Показано, что с возрастанием температуры фазового перехода на границе растворения и с увеличением первоначальной толщины пленки жидкости уменьшается поток испаряющегося вещества. Также определено, что при уменьшении приведенного коэффициента испарения поток испарения стабилизируется около своего первоначального значения.
Результаты проведенных исследований в совокупности позволяют сформулировать новое научное направление теплофизики и теоретической теплотехники - теорию нелинейного тепломассопереноса в процессах затвердевания и испарения с двухфазной областью.
Достоверность полученных результатов обеспечивается следующими положениями:
- обоснованностью физических представлений и моделей сплошных сред теорий кристаллизации и испарения в больших объемах, используемых для исследований процессов тепло- и массопереноса;
- соответствием полученных выводов экспериментальным данным или результатам численных расчетов;
- математической строгостью методов решения и согласованностью результатов, полученных различными способами.
Практическое значение. Найденные в диссертации результаты о влиянии теплофизических параметров на режимы затвердевания и испарения являются полезными для получения материалов с заданными свойствами и важными для прогнозирования процессов динамики исследуемых систем.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на представительных научных конференциях:
13-я международная конференция по теплопереносу (Сидней, Австралия, 2006), 7-й молодежный семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2006), 13-я международная конференция по жидким и аморфным металлам (Екатеринбург, 2007), 14-я всероссийская научная конференции студентов-физиков и молодых ученых (Уфа, 2008), 10-я ежегодная конференция сербского общества исследования материалов, УПСОМАТ (Херцег-Нови, 2008), 12-я российская конференции ”Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов” (Екатеринбург, 2008), Юбилейная 10-я всероссийская молодежная школа-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2009), Всероссийские школы-конференции "Математическое моделирование в естественных науках” (Пермь, 2010; 2012), 21-й международный симпозиум по явлениям переноса (Тайвань, 2010), 8-я международная конференция по теплопереносу, механике жидкости и термодинамике (Маврикий, 2011), 13-я российской конференции ’’Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов” (Екатеринбург, 2011), а также на семинарах в Институте Металлургии УрО
РАН и на кафедре математической физики Уральского федерального университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 научных статей из перечня ведущих периодических изданий ВАК, 9 научных статей в изданиях, не вошедших в этот перечень, 9 тезисов конференций. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Текст диссертации состоит из введения, семи глав основного содержания, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 304 страницы машинописного текста, она содержит 69 рисунков, 6 таблиц и 243 ссылки на источники цитируемой литературы.
Математическое моделирование процессов затвердевания и испарения основывается на уравнениях тепло- и массопереноса, записываемых во всех фазах системы, и граничных условиях, имеющих смысл непрерывности, скачка или баланса температурного и концентрационного полей. При этом математические модели реальных процессов, встречающихся в природе или технологических условиях, осложняется наличием одной или нескольких подвижных границ фазовых переходов, которые двигаются с заранее неизвестной скоростью. Модели таких систем также осложняются нелинейным транспортом тепла и примеси в гетерогенных системах, конвективными и гидродинамическими течениями сред, а также многообразием возможных граничных и начальных условий процессов. Поэтому универсальных методов решения задач подобного типа не существует и в каждой отдельной ситуации требуется разработка оригинальных способов и подходов к их решению. При этом численные методы, основывающиеся на фиксации большинства параметров, не во всех ситуациях могут определять влияние различных системных характеристик на решение задачи. Во многих ситуациях при этом для проверки их результатов требуется разработка сразу нескольких схем. Это обуславливает необходимость разработки универсальных методов решения задач с подвижными границами, применимых к определенным группам процессов - к стационарным автомодельным и нестационарным, фронтальным и при наличии области фазового перехода, осложненных неустойчивостями, гидродинамикой и конвекцией. Разработке таких методов решения при наличии области фазового перехода в тепломассообменных процессах затвердевания и испарения веществ с движущимися межфазными границами посвящена настоящая диссертационная работа. Кроме этого, в диссертации рассмотрен ряд задач, описывающих природные и технологические процессы, решение которых само по себе имеет важное практическое значение. Так, например в работе разработаны аналитические методах решения квазистационарных задач о затвердевании бинарных расплавов с нелинейной фазовой диаграммой, о кристаллизации трехкомпонентных систем, проведен анализ устойчивости локально плоской межфазной границы земного ядра и определена возможная структура ее области фазового перехода, разработаны методы решения автомодельных и нестационарных задач при наличии одной или нескольких двухфазных зон, впервые исследована конвективная неустойчивость области фазового перехода, изучена динамика роста дендритных структур в такой зоне и разработаны методы решения задач об испарении летучих соединений, когда фазовый переход протекает в области жидкость - твердое тело.
Цель работы. Аналитическое описание нелинейного тепломассопереноса в процессах кристаллизации и испарения при наличии движущейся области фазового перехода.
В рамках поставленной цели исследовались:
- Процессы затвердевания бинарных и трехкомпонентных расплавов с постоянной скоростью при наличии области фазового перехода. Здесь цель состояла в обобщении ранее известной теории кристаллизации бинарных систем на случай нелинейной фазовой диаграммы и в разработке новой теории (и аналитических методов решения), описывающей затвердевание трехкомпонентных расплавов.
- Процессы затвердевания бинарных расплавов с постоянной скоростью в условиях кристаллизации земного ядра. Здесь первоначальной целью являлась задача об определении ответа на вопрос: является ли межфазная граница ядра переохлажденной? Положительный ответ на него поставил следующую задачу - изучение условий нарушения морфологической устойчивости локально плоской границы твердая фаза - расплав и определение областей изменения параметров системы, где процесс морфологически неустойчив. Решение этих задач привело к вопросу о построении теории двухфазной зоны, описывающей условия затвердевания земного ядра. Развитые в работе методы и модели также применимы для описания конвективной кристаллизации в геофизических процессах замерзания воды и в металлургических процессах затвердевания сплавов.
- Процессы нестационарного затвердевания бинарных систем при наличии одной или нескольких областей фазового перехода. Сначала была развита аналитическая теория, моделирующая соответствующий автомодельный процесс. Затем, теория двухфазной зоны была обобщена на случай кристаллизации льда при развитии в системе ложного дна, также представляющего собой протяженную область фазового перехода. Успешное решение этого вопроса позволило поставить задачу о взаимодействии фазовых переходов и вызванном им структурообразовании льда.
- Процессы конвективной неустойчивости области фазового перехода, вызванные течением жидкости в океане и в двухфазной зоне. Для решения этой задачи был проведен линейный анализ конвективной морфологической неустойчивости и получен новый критерий устойчивой кристаллизации при наличии ламинарных и турбулентных течений жидкости в подледовом пространстве, который определяет условия возникновения каналов в области фазового перехода.
- Процессы дендритного роста в двухфазной зоне бинарных расплавов при наличии конвекции. Для определения отборного соотношения скорости роста дендритов был поставлен и решен целый ряд задач: были найдены квазистационарные решения в параболической системе координат, был проведен линейный анализ устойчивости относительно этих решений, было определено дисперсионное соотношение и выведен критерий микроскопической разрешимости, определяющий искомое отборное соотношение. Затем была решена задача о модификации теории на трехмерный случай параболоида вращения и проведено исследование о рамках применимости теории.
- Процессы изотермического и неизотермического испарения в газовую фазу в двухфазной системе жидкость - твердый материал. Сначала была поставлена и успешно решена задача об обобщении ранее известной асимптотической теории изотермического испарения на более широкий класс процессов. Успешное решение этой задачи, заключающееся в разработке ряда методов определения аналитических решений нелинейных моделей, позволило изучить нестационарные неизотермические процессы.
Научная новизна представленных материалов заключается в систематическом исследовании различных аспектов затвердевания и испарения вещества при наличии области фазового перехода и ряда нелинейных нестационарных явлений и процессов. В работе получены следующие новые результаты:
- Развиты аналитические методы решения термодиффузионной модели Стефана, описывающей квазистационарный процесс кристаллизации бинарных расплавов и растворов с областью фазового перехода при учете нелинейной фазовой диаграммы. Впервые определено явное решение нелинейной задачи при нулевом значении коэффициента распределения примеси и получена одноточечная задача Коши для концентрации примеси в случае произвольных значений этого коэффициента. Показано, что нелинейность фазовой диаграммы системы, приводящая к уменьшению температуры фазового перехода по сравнению с линейным случаем, ответственна за более интенсивный рост твердой фазы и увеличение протяженности двухфазной зоны. Продемонстрировано сохранение скейлинговых свойств области фазового перехода при учете нелинейного уравнения ликвидус.
- Впервые разработана: математическая модель и метод ее решения для описания квазистационарного затвердевания трехкомпонентных систем с двумя областями фазового превращения - основной и котектической двухфазными зонами. Определено, что ширина котектической области меньше, чем ширина основной, а концентрация примеси второго (добавочного к бинарной системе) примесного компонента возрастает в зоне котектики, достигает максимума в основной зоне, а далее убывает в ней.
- Найдены новые аналитические решения сферически-симметричных уравнений тепломассопереноса, описывающие фронтальную кристаллизацию земного ядра. Определено, что скорость роста ядра возрастает с увеличением неадиабатического теплового потока на границе жидкого ядра с мантией. Показано, что у границы ядра всегда существует концентрационное переохлаждение, а она сама морфологически неустойчива при учете натекания на нее конвектирующего расплава. Впервые проведен линейный анализ морфологической неустойчивости локально плоской межфазной границы земного ядра с учетом конвекции, позволивший определить новые дисперсионное соотношение и кривую нейтральной устойчивости. Развита и аналитически исследована математическая модель, описывающая квазистационарное затвердевание в условиях ядра Земли. Анализ решений позволил определить ряд параметров и свойств области фазового перехода.
- Найдено точное аналитическое решение нелинейной модели типа Стефана, описывающей автомодельное затвердевание бинарных расплавов с двухфазной зоной для установившихся стадий процесса. Определены явные зависимости концентрации примеси, температуры и доли твердой фазы от пространственно-временной автомодельной переменной. Продемонстрировано, что доля твердой фазы в области фазового перехода убывает с ростом автомодельной координаты.
- Впервые разработана математическая модель кристаллизации морской воды с областью фазового перехода при учете процесса эволюции ложного дна, также представляющего собой двухфазную зону. Модель учитывает возможность турбулизации жидкости в океане и нестационарность атмосферной температуры на поверхности льда. Определены аналитические решения этой нелинейной нестационарной модели - найдены распределения температуры и концентрации примеси, доли твердой фазы, координаты и скорости движения четырех границ фазовых превращений. Показано, что два встречных фазовых перехода до момента слияния их границ не взаимодействуют, а понижение температуры атмосферы приводит к ускорению движения межфазных границ и более быстрому смерзанию ледяных пластов.
- Путем сравнения данных полевых наблюдений и развиваемой теории впервые показано, что эволюция ложного дна связана с появлением столбчато- гранулированной структурах морского льда, в то время как замерзание льда сверху порождает его столбчатую структуру. Таким образом, структурные переходы во льду проинтерпретированы как результат взаимодействия встречных фазовых переходов. Показано, что тепловой поток, связанный с ростом ложного дна, оказывает существенное влияние на теплообмен между океаном и атмосферой.
- Впервые развита термодиффузионная математическая модель для исследования конвективной морфологической неустойчивости области фазового перехода при наличии ламинарных и турбулентных течений жидкости в океане. Выполнен анализ этой модели и найдены новые критерий морфологической устойчивости и кривая нейтральной устойчивости, определяющие условия возникновения каналов конвектирующей жидкости в анизотропной и неоднородной области фазового перехода. Показано, что область неустойчивости процесса увеличивается при турбулизации жидкости в океане около межфазной границы по сравнению с ламинарной моделью.
- Впервые определены точные аналитические решения термодиффузионной задачи о росте параболического дендрита в набегающем потоке жидкости. Выполнен анализ морфологической устойчивости найденных решений и определено дисперсионное соотношение. Выведено условие микроскопической разрешимости для рассматриваемого процесса из которого определено новое отборное соотношение для скорости роста дендрита. Развитая теория обобщает ранее известные модели дендритного роста. Выполнено обобщение на трехмерный случай и определены пределы применимости теории в зависимости от чисел Пекле и Рейнольдса.
- Впервые найдено точное аналитическое решение задачи об изотермическом испарении летучего компонента в газовую фазу в двухфазной системе жидкость - твердое тело. Определен поток испаряющегося вещества и показано, что граница растворения движется быстрее границы испарения. Теория обобщена на случай зависимости приведенного коэффициента испарения от граничной концентрации примеси и на случаи сферической и цилиндрической симметрий рабочего тела парового генератора. Впервые разработана математическая модель и построено ее точное аналитическое решение для процесса неизотермического испарения в системе газ - жидкость - твердое тело. Показано, что с возрастанием температуры фазового перехода на границе растворения и с увеличением первоначальной толщины пленки жидкости уменьшается поток испаряющегося вещества. Также определено, что при уменьшении приведенного коэффициента испарения поток испарения стабилизируется около своего первоначального значения.
Результаты проведенных исследований в совокупности позволяют сформулировать новое научное направление теплофизики и теоретической теплотехники - теорию нелинейного тепломассопереноса в процессах затвердевания и испарения с двухфазной областью.
Достоверность полученных результатов обеспечивается следующими положениями:
- обоснованностью физических представлений и моделей сплошных сред теорий кристаллизации и испарения в больших объемах, используемых для исследований процессов тепло- и массопереноса;
- соответствием полученных выводов экспериментальным данным или результатам численных расчетов;
- математической строгостью методов решения и согласованностью результатов, полученных различными способами.
Практическое значение. Найденные в диссертации результаты о влиянии теплофизических параметров на режимы затвердевания и испарения являются полезными для получения материалов с заданными свойствами и важными для прогнозирования процессов динамики исследуемых систем.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на представительных научных конференциях:
13-я международная конференция по теплопереносу (Сидней, Австралия, 2006), 7-й молодежный семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2006), 13-я международная конференция по жидким и аморфным металлам (Екатеринбург, 2007), 14-я всероссийская научная конференции студентов-физиков и молодых ученых (Уфа, 2008), 10-я ежегодная конференция сербского общества исследования материалов, УПСОМАТ (Херцег-Нови, 2008), 12-я российская конференции ”Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов” (Екатеринбург, 2008), Юбилейная 10-я всероссийская молодежная школа-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2009), Всероссийские школы-конференции "Математическое моделирование в естественных науках” (Пермь, 2010; 2012), 21-й международный симпозиум по явлениям переноса (Тайвань, 2010), 8-я международная конференция по теплопереносу, механике жидкости и термодинамике (Маврикий, 2011), 13-я российской конференции ’’Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов” (Екатеринбург, 2011), а также на семинарах в Институте Металлургии УрО
РАН и на кафедре математической физики Уральского федерального университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 научных статей из перечня ведущих периодических изданий ВАК, 9 научных статей в изданиях, не вошедших в этот перечень, 9 тезисов конференций. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Текст диссертации состоит из введения, семи глав основного содержания, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 304 страницы машинописного текста, она содержит 69 рисунков, 6 таблиц и 243 ссылки на источники цитируемой литературы.
Научные материалы, изложенные в диссертации, представляют собой единую теорию исследования нелинейного тепломассопереноса в процессах затвердевания и испарения при наличии области фазового перехода. Во всех главах диссертации излагаются оригинальные авторские методы решения соответствующих термодиффузионных задач типа Стефана с движущимися границами фазовых переходов, осложненных присутствием конвективных и гидродинамических течений жидкости. Сформулируем главные результаты диссертационной работы.
Основные результаты и выводы работы заключаются в следующем:
• Разработан аналитический метод решения термодиффузионной задачи типа Стефана, описывающей квазистационарное затвердевание бинарных расплавов с двухфазной областью при нелинейной фазовой диаграмме процесса. Показано, что решение нелинейных уравнений тепломассопереноса имеет явный вид для водных растворов (при нулевом коэффициенте распределения примеси) и сводится к решению одноточечной задачи Коши для отыскания концентрации примеси в области фазового перехода во всех остальных случаях. Определено, что температура фазового перехода может претерпевать существенное уменьшение при небольших отклонениях уравнения ликвидус от линейной зависимости. При этом происходит более интенсивный рост доли твердой фазы в двухфазной области и увеличивается протяженность зоны фазового перехода. В работе проиллюстрировано, что распре-деления концентрации примеси и доли твердой фазы в двухфазной области претерпевают практически самоподобный перенос при отклонении уравнения ликвидус от линейной зависимости. Это означает сохранение скейлинговых свойств области фазового превращения в случае нелинейной фазовой диаграммы.
• Разработан аналитический метод решения нелинейной термодиффузионной задачи типа Стефана, описывающей квазистационарное затвердевание трехкомпонентных расплавов с двумя двухфазными областями - основной и котектической зонами. Показано, что доля твердого вещества основного компонента монотонно убывает во всей области фазового перехода, а доля твердого вещества примесного компонента убывает в котектическом регионе. При этом протяженность котектической области меньше протяженности основной области фазового перехода. В работе также показано, что концентрация примеси основного компонента монотонно убывает во всей области фазового перехода, а концентрация примеси второго компонента возрастает в зоне котектики, достигает максимума в основной зоне, а затем убывает в ней. Это объясняется тем обстоятельством, что второй примесный компонент претерпевает фазовый переход лишь в котектической области.
• Получены новые аналитические сферически-симметричные решения нелинейных уравнений тепломассопереноса в жидком ядре Земли, описывающие фронтальный процесс кристаллизации. Показано, что скорость затвердевания ядра Земли является возрастающей функцией удельного неадиабатического теплового потока. Определено, что скорости роста ядра больше в тех регионах, где более холодный расплав опускается к ядру и меньше в регионах, где поднимается более горячий расплав. Эта разница температур и скоростей является причиной морфологической неустойчивости межфазной границы. Аналитически показано, что около границы с твердым ядром всегда появляется концентрационное переохлаждение, также являющееся причиной морфологической неустойчивости локально-плоской границы фазового перехода.
• Проведен линейный анализ морфологической неустойчивости локально-плоской межфазной границы ядра Земли при наличии натекания на нее расплава. Получен новый критерий морфологической устойчивости и определена кривая нейтральной устойчивости процесса. Показано, что при различных скоростях течения расплава возможна реализация морфологически устойчивой и неустойчивой кристаллизации, существующей одновременно с концентрационным переохлаждением, что приводит к двум сценариям затвердевания: "концентрационное переохлаждение и морфологическая устойчивость" и "концентрационное переохлаждение и морфологическая неустойчивость". Разработаны и решены аналитически нелинейные термодиффузионные модели двухфазной области, соответствующие найденным сценариям затвердевания в классическом стефановском приближении. Развита более полная модель рассматриваемого квазистационарного процесса затвердевания земного ядра с областью фазового перехода, учитывающая течения расплава, зависимость фазовой диаграммы от концентрации примеси и давления, зависимость скорости течения жидкости от давления и проницаемости двухфазной зоны. Найдены приближенные аналитические решения этой нелинейной модели. Определены допустимые интервалы изменений динамической вязкости и наклона линии ликвидус, соответствующие формированию области фазового перехода, междендритное расстояние и средний радиус вершины растущих в области фазового перехода дендритов. Показано, что в двухфазной зоне существуют узкие протоки горячего восходящего расплава, а в остальной области более холодный расплав опускается к ядру.
• Разработан аналитический метод решения нелинейной термодиффузионной задачи типа Стефана, описывающей нестационарное автомодельное затвердевание бинарного расплава при малых временных изменениях доли твердой фазы в области фазового перехода. Определены явные зависимости концентрации примеси, температуры, а также долей жидкой и твердой фаз в двухфазной зоне от автомодельной переменной. Показано, что доля твердой фазы может лишь убывать по автомодельной переменной. Найденное аналитическое решение хорошо согласуется с ранее известным асимптотическим решением и данными эксперимента.
• Разработана математическая модель типа Стефана, описывающая нестационарное замерзания воды с развитием ложного дна при учете встречной кристаллизации в направлении от охлаждаемой границы с атмосферой. Развитая модель впервые учитывает взаимодействие двух нестационарных областей фазового превращения - двухфазной зоны ложного дна и основной двухфазной зоны, вызванной формированием шуги льда. Модель процесса также впервые учитывает нелинейные эффекты тепломассопереноса, связанные с наличием турбулентных течений жидкости в океане и нестационарностью внешних параметров системы - атмосферной температуры, скорости трения, температуры и солености океана. Определены аналитические решения разработанной модели кристаллизации воды в обеих областях фазового перехода. Аналитически продемонстрировано, что фазовые переходы в обеих двухфазных областях не взаимодействуют до момента срастания их границ, движущихся во встречном направлении. Показано, что координата нижней границы ложного дна лежит в пределах разброса экспериментальных данных полевых наблюдений "AIDJEX"при учете временных изменений скорости трения. В диссертации показано, что встречные процессы кристаллизации льда сверху и снизу приводят к полному сращиванию обоих вертикальных слоев (двухфазных зон) льда в моменты встречи их границ фазовых переходов. При этом более низкие значения атмосферной температуры приводят к более быстрому смерзанию обоих слоев льда.
• Путем сравнения развитой теории с данными полевых наблюдений экспедиции "ARCTIC 91" (проведенных на борту ледокола "Polarstern") показано, что эволюция ложного дна порождает столбчато-гранулированную структуру льда, а над талой водой находится слой льда с чисто столбчатой структурой. Вследствие того, что на различных глубинах наблюдаются структурные переходы от столбчатого к столбчато-гранулированному типу, такие переходы могут формироваться в результате процессов смерзания исследованных пластов льда. Таким образом, структурные переходы в толще льда можно интерпретировать как результат взаимодействия фазовых переходов, поскольку в природе встречаются располагающиеся друг под другом мигрирующие структуры ложного дна. Аналитически определены тепловые потоки на границах ложное дно - океан и лед - атмосфера. При этом первый из них может быть направлен как в сторону океана, так и в сторону атмосферы (его направление определяется граничной температурой или соленостью). Показано, что оба тепловых потока по своей величине сопоставима: с другими вкладами в результирующий поток тепла. Это означает, что рост ложного дна может оказывать существенное влияние на теплообмен между океаном и атмосферой, что особенно проявляется в весенне-летний период времени, для которого характерны процессы образования и эволюции второго дна.
• Разработана математическая модель исследования морфологической не-устойчивости процесса кристаллизации при наличии анизотропной и неоднородной области фазового перехода с учетом течения жидкости и конвективного тепломассопереноса в двухфазной зоне. Проведен линейный анализ морфологической устойчивости с учетом течения среды в жидкой фазе и двухфазной зоне системы для нетурбулентных и турбулентных условий реализации процесса. Определен параметр эволюции возмущений для анизотропной и неоднородной двухфазной зоны, получены кривые нейтральной устойчивости процесса. Показано, что учет диффузии примеси и неоднородности зоны фазового перехода расширяют область неустойчивости, а уменьшение анизотропии приводит к ее сужению. Также продемонстрировано, что увеличение кинематической вязкости жидкости сдвигает процесс в сторону устойчивости. Обратный эффект вызывает возрастание скорости жидкости вблизи границы фазового перехода. Приведена оценка скорости роста шероховатостей межфазной границы (амплитуда неровности в 1 сантиметр может возрастать в разы за несколько часов), которая является основой построения нелинейной теории. Показано, что область устойчивости процесса затвердевания расширяется в случае турбулентных течений жидкости в океане около межфазной границы по сравнению с нетурбулентной моделью. При этом регион устойчивости процесса также увеличивается при увеличении скорости трения и коэффициента турбулентного переноса тепла вследствие того, что турбулентные граничные условия учитывают силы трения на межфазной поверхности двухфазная зона - океан, которые являются стабилизирующим процесс фактором. Продемонстрировано, что исследуемая конвективная неустойчивость расширяет область ранее известной динамической неустойчивости двухфазной зоны. При этом увеличение скорости течения жидкости в океане вблизи межфазной границы сужает область устойчивости. Полученные критерии устойчивости определяют различные режимы процесса кристаллизации с областью фазового перехода при наличии или отсутствии в ней каналов конвектирующей жидкости.
• Впервые построены аналитические решения термодиффузионной задачи Стефана, описывающие рост параболического дендрита с постоянной скоростью в бинарной жидкости с течением. Проведен линейный анализ морфологической устойчивости найденных решений. Выведены дисперсионное уравнение и уравнение кривой нейтральной устойчивости процесса, из которого определена зависимость волнового числа от теплофизических и гидродинамических параметров системы. Показано, что обобщенное волновое число содержит предельные переходы к ранее известным моделям дендритного роста. Определен обобщенный критерий устойчивого роста двухмерного параболического дендрита (определяющий отборное соотношение для скорости роста) с учетом анизотропии поверхностного натяжения на межфазной границе кристалл-расплав. Найденный критерий также содержит ранее известные критерии для роста изолированного дендрита в однокомпонентной среде с конвекцией жидкости и роста изолированного дендрита в неподвижной бинарной системе. Из обобщенного критерия следует, что с ростом ростового числа Пекле и уменьшением потокового числа Пекле вклад конвекции в устойчивости роста вершины дендрита уменьшается. Показано, что развиваемая теория справедлива при произвольных числах Рейнольдса и Пекле, определяемых скоростью набегающего на дендрит потока жидкости. Сделано обобщение теории на случай трехмерного дендритного роста.
• Построено точное аналитическое решение задачи об изотермическом испарении летучего компонента в системе газ - жидкость - твердое тело в параметрическом виде. Показано, что граница растворения движется быстрее границы испарения, а с возрастанием приведенного коэффициента испарения указанная особенность усиливается. Также продемонстрировано, что с течением времени возрастает разница между потоком испаряющегося вещества и его первоначальным значением, которое соответствует ранее известному асимптотическому решению. Построенные в диссертации решения существенно расширяют рамки применимости аналитических решений по сравнению с ранее исследованным асимптотическим случаем. Теория обобщена на ситуацию слабой зависимости приведенного коэффициента испарения от граничной концентрации примеси, а также на случаи цилиндрической и сферической симметрий процесса.
• Разработаны нелинейная термодиффузионная модель типа Стефана и метод построения ее аналитического решения для описания процессов неизотермического испарения в системе газ - жидкость - твердое тело. Показано, что точное решение задачи строится в параметрической форме. Определено, что увеличение температуры фазового перехода на границе растворения приводит к уменьшению толщины пленки жидкости и к уменьшению скорости движения границы испарения. Решение показывает, что рост температуры фазового перехода на границе растворения и возрастание первоначальной
толщины пленки жидкости приводят к уменьшению потока испаряющегося вещества. Из проведенного анализа также следует, что при малых приведенных коэффициентах испарения наблюдается стабилизация потока испарения в окрестности своего первоначального значения. Возрастание этого коэффициента может приводить к существенному уменьшению потока испаряющегося вещества даже на начальных стадиях процесса.
Основные результаты и выводы работы заключаются в следующем:
• Разработан аналитический метод решения термодиффузионной задачи типа Стефана, описывающей квазистационарное затвердевание бинарных расплавов с двухфазной областью при нелинейной фазовой диаграмме процесса. Показано, что решение нелинейных уравнений тепломассопереноса имеет явный вид для водных растворов (при нулевом коэффициенте распределения примеси) и сводится к решению одноточечной задачи Коши для отыскания концентрации примеси в области фазового перехода во всех остальных случаях. Определено, что температура фазового перехода может претерпевать существенное уменьшение при небольших отклонениях уравнения ликвидус от линейной зависимости. При этом происходит более интенсивный рост доли твердой фазы в двухфазной области и увеличивается протяженность зоны фазового перехода. В работе проиллюстрировано, что распре-деления концентрации примеси и доли твердой фазы в двухфазной области претерпевают практически самоподобный перенос при отклонении уравнения ликвидус от линейной зависимости. Это означает сохранение скейлинговых свойств области фазового превращения в случае нелинейной фазовой диаграммы.
• Разработан аналитический метод решения нелинейной термодиффузионной задачи типа Стефана, описывающей квазистационарное затвердевание трехкомпонентных расплавов с двумя двухфазными областями - основной и котектической зонами. Показано, что доля твердого вещества основного компонента монотонно убывает во всей области фазового перехода, а доля твердого вещества примесного компонента убывает в котектическом регионе. При этом протяженность котектической области меньше протяженности основной области фазового перехода. В работе также показано, что концентрация примеси основного компонента монотонно убывает во всей области фазового перехода, а концентрация примеси второго компонента возрастает в зоне котектики, достигает максимума в основной зоне, а затем убывает в ней. Это объясняется тем обстоятельством, что второй примесный компонент претерпевает фазовый переход лишь в котектической области.
• Получены новые аналитические сферически-симметричные решения нелинейных уравнений тепломассопереноса в жидком ядре Земли, описывающие фронтальный процесс кристаллизации. Показано, что скорость затвердевания ядра Земли является возрастающей функцией удельного неадиабатического теплового потока. Определено, что скорости роста ядра больше в тех регионах, где более холодный расплав опускается к ядру и меньше в регионах, где поднимается более горячий расплав. Эта разница температур и скоростей является причиной морфологической неустойчивости межфазной границы. Аналитически показано, что около границы с твердым ядром всегда появляется концентрационное переохлаждение, также являющееся причиной морфологической неустойчивости локально-плоской границы фазового перехода.
• Проведен линейный анализ морфологической неустойчивости локально-плоской межфазной границы ядра Земли при наличии натекания на нее расплава. Получен новый критерий морфологической устойчивости и определена кривая нейтральной устойчивости процесса. Показано, что при различных скоростях течения расплава возможна реализация морфологически устойчивой и неустойчивой кристаллизации, существующей одновременно с концентрационным переохлаждением, что приводит к двум сценариям затвердевания: "концентрационное переохлаждение и морфологическая устойчивость" и "концентрационное переохлаждение и морфологическая неустойчивость". Разработаны и решены аналитически нелинейные термодиффузионные модели двухфазной области, соответствующие найденным сценариям затвердевания в классическом стефановском приближении. Развита более полная модель рассматриваемого квазистационарного процесса затвердевания земного ядра с областью фазового перехода, учитывающая течения расплава, зависимость фазовой диаграммы от концентрации примеси и давления, зависимость скорости течения жидкости от давления и проницаемости двухфазной зоны. Найдены приближенные аналитические решения этой нелинейной модели. Определены допустимые интервалы изменений динамической вязкости и наклона линии ликвидус, соответствующие формированию области фазового перехода, междендритное расстояние и средний радиус вершины растущих в области фазового перехода дендритов. Показано, что в двухфазной зоне существуют узкие протоки горячего восходящего расплава, а в остальной области более холодный расплав опускается к ядру.
• Разработан аналитический метод решения нелинейной термодиффузионной задачи типа Стефана, описывающей нестационарное автомодельное затвердевание бинарного расплава при малых временных изменениях доли твердой фазы в области фазового перехода. Определены явные зависимости концентрации примеси, температуры, а также долей жидкой и твердой фаз в двухфазной зоне от автомодельной переменной. Показано, что доля твердой фазы может лишь убывать по автомодельной переменной. Найденное аналитическое решение хорошо согласуется с ранее известным асимптотическим решением и данными эксперимента.
• Разработана математическая модель типа Стефана, описывающая нестационарное замерзания воды с развитием ложного дна при учете встречной кристаллизации в направлении от охлаждаемой границы с атмосферой. Развитая модель впервые учитывает взаимодействие двух нестационарных областей фазового превращения - двухфазной зоны ложного дна и основной двухфазной зоны, вызванной формированием шуги льда. Модель процесса также впервые учитывает нелинейные эффекты тепломассопереноса, связанные с наличием турбулентных течений жидкости в океане и нестационарностью внешних параметров системы - атмосферной температуры, скорости трения, температуры и солености океана. Определены аналитические решения разработанной модели кристаллизации воды в обеих областях фазового перехода. Аналитически продемонстрировано, что фазовые переходы в обеих двухфазных областях не взаимодействуют до момента срастания их границ, движущихся во встречном направлении. Показано, что координата нижней границы ложного дна лежит в пределах разброса экспериментальных данных полевых наблюдений "AIDJEX"при учете временных изменений скорости трения. В диссертации показано, что встречные процессы кристаллизации льда сверху и снизу приводят к полному сращиванию обоих вертикальных слоев (двухфазных зон) льда в моменты встречи их границ фазовых переходов. При этом более низкие значения атмосферной температуры приводят к более быстрому смерзанию обоих слоев льда.
• Путем сравнения развитой теории с данными полевых наблюдений экспедиции "ARCTIC 91" (проведенных на борту ледокола "Polarstern") показано, что эволюция ложного дна порождает столбчато-гранулированную структуру льда, а над талой водой находится слой льда с чисто столбчатой структурой. Вследствие того, что на различных глубинах наблюдаются структурные переходы от столбчатого к столбчато-гранулированному типу, такие переходы могут формироваться в результате процессов смерзания исследованных пластов льда. Таким образом, структурные переходы в толще льда можно интерпретировать как результат взаимодействия фазовых переходов, поскольку в природе встречаются располагающиеся друг под другом мигрирующие структуры ложного дна. Аналитически определены тепловые потоки на границах ложное дно - океан и лед - атмосфера. При этом первый из них может быть направлен как в сторону океана, так и в сторону атмосферы (его направление определяется граничной температурой или соленостью). Показано, что оба тепловых потока по своей величине сопоставима: с другими вкладами в результирующий поток тепла. Это означает, что рост ложного дна может оказывать существенное влияние на теплообмен между океаном и атмосферой, что особенно проявляется в весенне-летний период времени, для которого характерны процессы образования и эволюции второго дна.
• Разработана математическая модель исследования морфологической не-устойчивости процесса кристаллизации при наличии анизотропной и неоднородной области фазового перехода с учетом течения жидкости и конвективного тепломассопереноса в двухфазной зоне. Проведен линейный анализ морфологической устойчивости с учетом течения среды в жидкой фазе и двухфазной зоне системы для нетурбулентных и турбулентных условий реализации процесса. Определен параметр эволюции возмущений для анизотропной и неоднородной двухфазной зоны, получены кривые нейтральной устойчивости процесса. Показано, что учет диффузии примеси и неоднородности зоны фазового перехода расширяют область неустойчивости, а уменьшение анизотропии приводит к ее сужению. Также продемонстрировано, что увеличение кинематической вязкости жидкости сдвигает процесс в сторону устойчивости. Обратный эффект вызывает возрастание скорости жидкости вблизи границы фазового перехода. Приведена оценка скорости роста шероховатостей межфазной границы (амплитуда неровности в 1 сантиметр может возрастать в разы за несколько часов), которая является основой построения нелинейной теории. Показано, что область устойчивости процесса затвердевания расширяется в случае турбулентных течений жидкости в океане около межфазной границы по сравнению с нетурбулентной моделью. При этом регион устойчивости процесса также увеличивается при увеличении скорости трения и коэффициента турбулентного переноса тепла вследствие того, что турбулентные граничные условия учитывают силы трения на межфазной поверхности двухфазная зона - океан, которые являются стабилизирующим процесс фактором. Продемонстрировано, что исследуемая конвективная неустойчивость расширяет область ранее известной динамической неустойчивости двухфазной зоны. При этом увеличение скорости течения жидкости в океане вблизи межфазной границы сужает область устойчивости. Полученные критерии устойчивости определяют различные режимы процесса кристаллизации с областью фазового перехода при наличии или отсутствии в ней каналов конвектирующей жидкости.
• Впервые построены аналитические решения термодиффузионной задачи Стефана, описывающие рост параболического дендрита с постоянной скоростью в бинарной жидкости с течением. Проведен линейный анализ морфологической устойчивости найденных решений. Выведены дисперсионное уравнение и уравнение кривой нейтральной устойчивости процесса, из которого определена зависимость волнового числа от теплофизических и гидродинамических параметров системы. Показано, что обобщенное волновое число содержит предельные переходы к ранее известным моделям дендритного роста. Определен обобщенный критерий устойчивого роста двухмерного параболического дендрита (определяющий отборное соотношение для скорости роста) с учетом анизотропии поверхностного натяжения на межфазной границе кристалл-расплав. Найденный критерий также содержит ранее известные критерии для роста изолированного дендрита в однокомпонентной среде с конвекцией жидкости и роста изолированного дендрита в неподвижной бинарной системе. Из обобщенного критерия следует, что с ростом ростового числа Пекле и уменьшением потокового числа Пекле вклад конвекции в устойчивости роста вершины дендрита уменьшается. Показано, что развиваемая теория справедлива при произвольных числах Рейнольдса и Пекле, определяемых скоростью набегающего на дендрит потока жидкости. Сделано обобщение теории на случай трехмерного дендритного роста.
• Построено точное аналитическое решение задачи об изотермическом испарении летучего компонента в системе газ - жидкость - твердое тело в параметрическом виде. Показано, что граница растворения движется быстрее границы испарения, а с возрастанием приведенного коэффициента испарения указанная особенность усиливается. Также продемонстрировано, что с течением времени возрастает разница между потоком испаряющегося вещества и его первоначальным значением, которое соответствует ранее известному асимптотическому решению. Построенные в диссертации решения существенно расширяют рамки применимости аналитических решений по сравнению с ранее исследованным асимптотическим случаем. Теория обобщена на ситуацию слабой зависимости приведенного коэффициента испарения от граничной концентрации примеси, а также на случаи цилиндрической и сферической симметрий процесса.
• Разработаны нелинейная термодиффузионная модель типа Стефана и метод построения ее аналитического решения для описания процессов неизотермического испарения в системе газ - жидкость - твердое тело. Показано, что точное решение задачи строится в параметрической форме. Определено, что увеличение температуры фазового перехода на границе растворения приводит к уменьшению толщины пленки жидкости и к уменьшению скорости движения границы испарения. Решение показывает, что рост температуры фазового перехода на границе растворения и возрастание первоначальной
толщины пленки жидкости приводят к уменьшению потока испаряющегося вещества. Из проведенного анализа также следует, что при малых приведенных коэффициентах испарения наблюдается стабилизация потока испарения в окрестности своего первоначального значения. Возрастание этого коэффициента может приводить к существенному уменьшению потока испаряющегося вещества даже на начальных стадиях процесса.
Заказать работу
Заявка на оценку стоимости
Это краткая форма заказа. После ее заполнения вы перейдете на полную форму заказа работы
Каталог работ (149577)
- Бакалаврская работа (38342)
- Диссертация (978)
- Магистерская диссертация (22138)
- Дипломные работы, ВКР (60355)
- Главы к дипломным работам (2138)
- Курсовые работы (10522)
- Контрольные работы (6265)
- Отчеты по практике (1357)
- Рефераты (1481)
- Задачи, тесты, ПТК (631)
- Ответы на вопросы (155)
- Статьи, Эссе, Сочинения (942)
- Бизнес-планы (51)
- Презентации (106)
- РГР (84)
- Авторефераты (РГБ) (1692)
- Диссертации (РГБ) (1882)
- Прочее (458)
Новости
06.01.2018
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
Помощь в выполнении учебных и научных работ на заказ ОФОРМИТЬ ЗАКАЗ
дальше»» Все новости
Статьи
- Где лучше заказывать диссертации и дипломные?
- Выполнение научных статей
- Подготовка диссертаций
- Подводные камни при написании магистерской работы
- Помощь в выполнении дипломных работ
»» Все статьи
Заказать работу
Заявка на оценку стоимости
Это краткая форма заказа. После ее заполнения вы перейдете на полную форму заказа работы
