1 ОДНОСТОРОННЕЕ ОГРАНИЧЕНИЕ НА ОТРЕЗКЕ [0,Д 7
1.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 7
1.2 СЛУЧАЙ к = 1,п = 2 8
1.3 СЛУЧАЙ к = 1 ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ СТЕПЕНИ ВЫШЕ 2 8
1.4 СЛУЧАЙ 2 < к < п 11
2 ОДНОСТОРОННЕЕ ОГРАНИЧЕНИЕ НА ОТРЕЗКЕ [0, 2Д 12
2.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 12
2.2 СЛУЧАЙ к = 1,п = 2 13
2.3 СЛУЧАЙ к = 1 ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ СТЕПЕНИ ВЫШЕ 2 14
2.4 СЛУЧАЙ 2 < к < п 19
3 ДВУСТОРОННЕЕ ОГРАНИЧЕНИЕ НА ОТРЕЗКЕ [0,Д 21
3.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 21
3.2 СЛУЧАЙ к = 1 ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ СТЕПЕНЕЙ 2 И ВЫШЕ .... 21
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 23
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 24
РЕФЕРАТ
Зыков Д. О. КОЭФФИЦИЕНТЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ ПРИ ОДНОСТОРОННИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ, магистерская диссертация. Стр. 22, библ. назв. 4.
Ключевые слова: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ, КОЭФФИЦИЕН¬ТЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ.
Исследуется наибольшее и наименьшее значения коэффициентов нечeтных тригономет-рических полиномов, не превосходящих функции /(х) = х на отрезках [0,я] и [0, 2я]. Получены точные границы первого коэффициента для полиномов второго порядка. Для полиномов более высоких порядков получены двусторонние оценки первого коэф¬фициента и найдено асимптотическое поведение его максимального и минимального значений по порядку полинома. Даны оценки старших коэффициентов. Аналогичные результаты получены для коэффициентов синус-полиномов при двусторонних линей¬ных ограничениях на отрезке [0, я] .
В диссертации изучаются наибольшее и наименьшее значения коэффициентов нечетных тригонометрических полиномов n
sn(x) = ak sin кх,
k=1
удовлетворяющих одному из трех следующих ограничений
n
У2 ak sin кх
k=1 < Ж, 0 < х < я; (0.1)
n
У2 ak sin кх < х, 0 < х < 2я; (0.2)
k=1
n
У^ ak sin кх < X, 0 < X < Я. (0.3)
k=1
В частности, доказано, что в предположении (0.2) для первого коэффициента полинома справедливы оценки
-6 < а1 < 2.
Более того, эти оценки окончательные.
Работа разбита на три параграфа в зависимости от ограничений (0.1) - (0.3).
Во время обучения в магистратуре мы продолжили изучать тему, определён¬ную в бакалаврской работе: поведение коэффициентов нечётных тригонометрических полиномов при односторонних ограничениях. Мы рассматривали полиномы вида
n
sn(x) = ak sin кх
k=1
которые были определены на отрезке [0, 2я], и смогли добиться существенных резуль-татов. В частности, были найдены точные значения коэффициентов полинома второй степени, определённого на отрезке [0, 2я], при которых значение первого коэффициента оказывалось максимальным для одностороннего линейного ограничения сверху. Также было изучено поведение первых коэффициентов нечётного тригонометрического поли-нома в зависимости от его степени при одностороннем линейном ограничении сверху.
Мы также занимались изучением поведения коэффициентов тригонометрическо¬го полинома sn(x). В основу исследований были положены результаты, полученные в бакалаврской работе. Нашей задачей было изучить поведение коэффициентов нечётно¬го тригонометрического полинома при односторонних линейных ограничениях сверху, когда полином определён на отрезках [0, я] и [0, 2я], также мы затронули вопрос по-ведения коэффициентов нечётного тригонометрического полинома, определённого на отрезке [0, я], при двусторонних линейных ограничениях. Таким образом первоначаль¬ная задача разбилась на три более узких подзадачи, которые и были исследованы и решены в ходе подготовки магистерской работы.
В ходе исследований нам удалось значительно углубить и расширить теорию, разработанную на базе результатов полученных в бакалаврской работе. В частности, были найдены оценки снизу и, в частных случаях, точные конструктивные значения для первых коэффициентов тригонометрических полиномов, ограниченных сверху на отрезках [0, я] и [0, 2я], оценки для остальных коэффициентов, а также были рассмотре¬ны оценки для первых коэффициентов тригонометрических полиномов при двусторон¬них ограничениях. Полученные нами результаты дают возможность более полно судить о поведении коэффициентов тригонометрических полиномов и тем самым послужат ос-новой для дальнейших изысканий в этой области.
