Глава 1. АНАЛИЗ АТТРАКТОРОВ МОДЕЛИ ФЕРХЮЛЬСТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ.. 7
Детерминированная модель 7
Стохастическая модель 13
1. Анализ стохастических равновесий 14
2. Анализ стохастической замкнутой инвариантной кривой 17
3. Анализ стохастического 7-цикла 20
4. Индуцированные шумом переходы 22
Заключение 25
Глава 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ИССЛЕДОВАНИЯ 26
Определение старшего показателя Ляпунова 26
Функция стохастической чувствительности 28
1. Стохастическая чувствительность равновесия 28
2. Стохастическая чувствительность цикла 29
3. Доверительные эллипсы 29
4. Стохастическая чувствительность замкнутой инвариантной кривой и построение
доверительной полосы 30
Список литературы 33
РЕФЕРАТ
Екатеринчук Е.Д. АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИХ АТТРАКТОРОВ МОДЕЛИ ФЕРХЮЛЬСТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, магистерская диссертация: стр. 34, рис. 12 библ. 21 назв.
Ключевые слова: модель Ферхюльста с запаздыванием, замкнутая инвариантная кривая, функция стохастической чувствительности, индуцированные шумом переходы.
В работе исследуются аттракторы модели Ферхюльста с запаздыванием под воздействием случайных возмущений.
В детерминированном случае наиболее интересным объектом исследования стала замкнутая инвариантная кривая. Для более подробного изучения её характеристик исследованы число вращения и секторная плотность распределения.
Анализ стохастических аттракторов модели проводится с помощью методов прямого численного моделирования и техники функций стохастической чувствительности. Показана деформация вероятностных распределений случайных состояний вокруг устойчивых равновесий и циклов при изменении параметров. С помощью метода функции стохастической чувствительности исследованы колебательные режимы, связанные с замкнутой инвариантной кривой. Найдены наиболее чувствительные участки замкнутой инвариантной кривой. Продемонстрировано явление индуцированных шумом переходов в зоне дискретных циклов.
Одной из наиболее известных моделей популяционной динамики является одномерная дискретная модель Ферхюльста [May, 1976, Ризниченко, Рубин, 1993], задаваемая квадратичным отображением. Эта модель учитывает ограниченность ресурсов (пищевых, территориальных) и, как следствие, внутривидовую конкуренцию.
Исследование этой модели сыграло важную роль в развитии представлений о механизмах перехода от регулярной к хаотической динамике, в разработке новых математических методов нелинейной динамики [Шустер, 1988, Неймарк, Ланда, 1987]. Данное уравнение носит принципиальный характер, и выявленные в нем сценарии были обнаружены в более сложных, многомерных моделях, задаваемых не только разностными, но и дифференциальными уравнениями. Разработка методов анализа стохастических эффектов в нелинейных системах также проводилась на базе этой модели [Crutchfield, 1981].
Исчерпывающее математическое описание стохастической динамики в дискретных системах со случайными возмущениями дается уравнением Перрона-Фробениуса [Аникин, Голубенцев, 2007]. Аналитическое решение этого функционального уравнения, даже в одномерном случае, возможно лишь для весьма частных, специально подобранных примеров, поэтому для исследования стохастических эффектов широко используется метод прямого численного моделирования. В параметрическом анализе этот метод является чрезвычайно затратным. Здесь конструктивной альтернативой является разработка асимптотик и аппроксимаций. Для аппроксимации вероятностных распределений стохастически возмущенных равновесий и циклов дискретных одномерных систем, в работе [Башкирцева И.А. и др., 2009] был предложен подход, использующий технику функций стохастической чувствительности. Возможности этой техники были продемонстрированы на примере одномерной модели Ферхюльста. Наблюдаемые в этой модели обратные стохастические бифуркации были исследованы в [Башкирцева И.А. и др., 2010]. Техника функций стохастической чувствительности для многомерного случая представлена в работе [Bashkirtseva и др., 2010].
Модель Ферхюльста с запаздыванием впервые была рассмотрена в работе [Maynard Smith, 1968], где учитывалось влияние численности предыдущего поколения на репродукционные возможности популяции. Математическое исследование возможных режимов динамики в этой детерминированной модели проводилось в [Pounder, Rogers, 1980, Rogers, Clarke, 1981, Aronson и др., 1982, May, 1987].
Функционирование сообществ живых организмов, как правило, сопровождается теми или иными случайными возмущениями, способными в значительной степени деформировать динамику численности. Исследование стохастических эффектов в нелинейных моделях популяционной динамики привлекает внимание многих исследователей [Scheffer и др., 2001, Rietkerk и др., 2004, Башкирцева, 2012].
Данная работа посвящена анализу аттракторов дискретной модели Ферхюльста с запаздыванием в присутствии случайных возмущений.
На первом этапе исследования проводился краткий обзор динамических режимов и бифуркаций для детерминированной модели в зонах устойчивых равновесий, замкнутых инвариантных кривых и дискретных циклов.
Второй этап исследований включает в себя анализ разброса случайных состояний вокруг устойчивых равновесий, замкнутых инвариантных кривых и дискретных циклов на основе техники функций стохастической чувствительности.
Третий этап исследований включает в себя изучение индуцированных шумом переходов.
В работе рассматривается модель Ферхюльста с запаздыванием в зоне перехода от равновесий к инвариантным кривым, появляющимся в результате бифуркации Неймарка-Сакера, и в зоне трансформации инвариантной кривой в дискретный 7-цикл. Под воздействием случайных возмущений траектория покидает детерминированный аттрактор и формирует вокруг него вероятностное распределение. Для анализа этого распределения использована техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных эллипсов. Проведено исследование деформации вероятностных распределений случайных состояний вокруг устойчивых аттракторов системы при изменении параметров. Продемонстрировано, как индуцированные шумом переходы в зоне дискретных циклов приводят к обратной стохастической бифуркации.
