Тема: АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИХ АТТРАКТОРОВ МОДЕЛИ ФЕРХЮЛЬСТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

РЕФЕРАТ
Екатеринчук Е.Д. АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИХ АТТРАКТОРОВ МОДЕЛИ ФЕРХЮЛЬСТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, магистерская диссертация: стр. 34, рис. 12 библ. 21 назв.
Ключевые слова: модель Ферхюльста с запаздыванием, замкнутая инвариантная кривая, функция стохастической чувствительности, индуцированные шумом переходы.
В работе исследуются аттракторы модели Ферхюльста с запаздыванием под воздействием случайных возмущений.
В детерминированном случае наиболее интересным объектом исследования стала замкнутая инвариантная кривая. Для более подробного изучения её характеристик исследованы число вращения и секторная плотность распределения.
Анализ стохастических аттракторов модели проводится с помощью методов прямого численного моделирования и техники функций стохастической чувствительности. Показана деформация вероятностных распределений случайных состояний вокруг устойчивых равновесий и циклов при изменении параметров. С помощью метода функции стохастической чувствительности исследованы колебательные режимы, связанные с замкнутой инвариантной кривой. Найдены наиболее чувствительные участки замкнутой инвариантной кривой. Продемонстрировано явление индуцированных шумом переходов в зоне дискретных циклов.
Одной из наиболее известных моделей популяционной динамики является одномерная дискретная модель Ферхюльста [May, 1976, Ризниченко, Рубин, 1993], задаваемая квадратичным отображением. Эта модель учитывает ограниченность ресурсов (пищевых, территориальных) и, как следствие, внутривидовую конкуренцию.
Исследование этой модели сыграло важную роль в развитии представлений о механизмах перехода от регулярной к хаотической динамике, в разработке новых математических методов нелинейной динамики [Шустер, 1988, Неймарк, Ланда, 1987]. Данное уравнение носит принципиальный характер, и выявленные в нем сценарии были обнаружены в более сложных, многомерных моделях, задаваемых не только разностными, но и дифференциальными уравнениями. Разработка методов анализа стохастических эффектов в нелинейных системах также проводилась на базе этой модели [Crutchfield, 1981].
Исчерпывающее математическое описание стохастической динамики в дискретных системах со случайными возмущениями дается уравнением Перрона-Фробениуса [Аникин, Голубенцев, 2007]. Аналитическое решение этого функционального уравнения, даже в одномерном случае, возможно лишь для весьма частных, специально подобранных примеров, поэтому для исследования стохастических эффектов широко используется метод прямого численного моделирования. В параметрическом анализе этот метод является чрезвычайно затратным. Здесь конструктивной альтернативой является разработка асимптотик и аппроксимаций. Для аппроксимации вероятностных распределений стохастически возмущенных равновесий и циклов дискретных одномерных систем, в работе [Башкирцева И.А. и др., 2009] был предложен подход, использующий технику функций стохастической чувствительности. Возможности этой техники были продемонстрированы на примере одномерной модели Ферхюльста. Наблюдаемые в этой модели обратные стохастические бифуркации были исследованы в [Башкирцева И.А. и др., 2010]. Техника функций стохастической чувствительности для многомерного случая представлена в работе [Bashkirtseva и др., 2010].
Модель Ферхюльста с запаздыванием впервые была рассмотрена в работе [Maynard Smith, 1968], где учитывалось влияние численности предыдущего поколения на репродукционные возможности популяции. Математическое исследование возможных режимов динамики в этой детерминированной модели проводилось в [Pounder, Rogers, 1980, Rogers, Clarke, 1981, Aronson и др., 1982, May, 1987].
Функционирование сообществ живых организмов, как правило, сопровождается теми или иными случайными возмущениями, способными в значительной степени деформировать динамику численности. Исследование стохастических эффектов в нелинейных моделях популяционной динамики привлекает внимание многих исследователей [Scheffer и др., 2001, Rietkerk и др., 2004, Башкирцева, 2012].
Данная работа посвящена анализу аттракторов дискретной модели Ферхюльста с запаздыванием в присутствии случайных возмущений.
На первом этапе исследования проводился краткий обзор динамических режимов и бифуркаций для детерминированной модели в зонах устойчивых равновесий, замкнутых инвариантных кривых и дискретных циклов.
Второй этап исследований включает в себя анализ разброса случайных состояний вокруг устойчивых равновесий, замкнутых инвариантных кривых и дискретных циклов на основе техники функций стохастической чувствительности.
Третий этап исследований включает в себя изучение индуцированных шумом переходов.

Купить

В работе рассматривается модель Ферхюльста с запаздыванием в зоне перехода от равновесий к инвариантным кривым, появляющимся в результате бифуркации Неймарка-Сакера, и в зоне трансформации инвариантной кривой в дискретный 7-цикл. Под воздействием случайных возмущений траектория покидает детерминированный аттрактор и формирует вокруг него вероятностное распределение. Для анализа этого распределения использована техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных эллипсов. Проведено исследование деформации вероятностных распределений случайных состояний вокруг устойчивых аттракторов системы при изменении параметров. Продемонстрировано, как индуцированные шумом переходы в зоне дискретных циклов приводят к обратной стохастической бифуркации.
Купить