1. Постановка задачи об устойчивости по части переменным в критическом
случае двух нулевых корней 6
1.1 Приведение уравнений возмущенного движения к упрощенному виду. 6
1.1.1 Случай нулевого корня с двумя группами решений 7
1.1.2 Случай нулевого корня с одной группой решений 7
1.2 Постановка задачи об устойчивости относительно I 4- 2 переменных
для систем (1.4) и (1.5) 8
1.3 Приведение системы (1.6) к специальному виду 9
2. Исследование устойчивости по части переменных в случае двух нулевых
корней с двумя группами решений 13
3. Исследование устойчивости по части переменных в случае двух нулевых
корней с одной группой решений 16
Пример 17
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21
ЛИТЕРАТУРА 22
РЕФЕРАТ
Ламоткин А.Е. Исследование устойчивости по части переменных в критическом случае т нулевых корней, диссертация 23 с., 15 источников.
Ключевые слова: устойчивость относительно части переменных, критический случай, функция Ляпунова, прямой метод Ляпунова.
Объект исследования - нулевое решение системы дифференциальных уравнений возмущенного движения в критическом случае.
Предмет исследования - устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений возмущенного движения относительно части переменных в критическом случае.
Цель исследования - получить различные условия устойчивости и неустойчивости относительно части переменных в критическом случае двойного нулевого корня.
В результате выполнения работы получены частные случаи условий асимптотической устойчивости по части переменных (при двойном нулевом корне с двумя группами решений) и неустойчивости по части переменных (при двойном нулевом корне с одной группой решений).
Результаты работы могут стать основой для последующих исследований по данному направлению.
Вопрос об исследовании критических случаев в теории устойчивости, является одним из самых сложных и сопряжен с огромными трудностями. Впервые критические случаи были исследованы Александром Михайловичем Ляпуновым в его работе «Общая задача об устойчивости движения» [6]. В работе [5] Ляпунов подробно исследует критический случай двойного нулевого корня с одной группой решений. Огромный вклад в исследование критических случаев внесли И.Г. Малкин [7,8] и Г.В. Каменков [2].
Все вышеперечисленные работы рассматривают вопрос устойчивости по отношению ко всем переменным, но как заметил А.М. Ляпунов, можно рассмотреть более общую задачу устойчивости, по отношению только к некоторым из переменных. Однако, сам А.М. Ляпунов данной задачей не занимался. В 1938 г. такой постановкой вопроса заинтересовался И.Г. Малкин, он сумел перенести (без доказательства) некоторые результаты теории устойчивости на случай устойчивости относительно части переменных.
Большой вклад в развитие теории устойчивости по части переменных внес академик В.В. Румянцев, который конкретизировал постановку задачи, а также доказал основные теоремы, более того им были указано практическое приложение полученной теории для изучения устойчивости космических аппаратов [1].
Как и в случае устойчивости по всем переменным, в теории устойчивости по части переменных огромное значение имеет устойчивость по первому приближению и теория критических случаев. Устойчивость по первому приближению подробно исследовалась в работах А.С. Озиранера, а также В.П. Прокопьева, некоторые из критических случаев были исследованы в работах В.П. Прокопьева [9], М.Г. Лизуновой [4], а также В.Н. Щенникова [14,15].
В данной работе перед автором была поставлена задача, по изучению устойчивости относительно части переменных в критическом случае т нулевых корней, о данном случае нет упоминаний в литературе, поэтому возможно он ранее не исследовался.
В силу того, что поставленная задача является чрезвычайно трудной, в данной работе автор ограничивается случаем т = 2, и последовательно рассматривает вопросы об устойчивости относительно части переменных в случае двойного нулевого корня с двумя и одной группами решений.
Целью данной работы является получить различные условия устойчивости и неустойчивости относительно части переменных в критическом случае двойного нулевого корня.
В виду чрезвычайной сложности поставленной задачи, автору удалось получить условия устойчивости и неустойчивости, лишь для некоторых частных случаев.
Исследование устойчивости относительно переменных х, у,Щ I = 1,1 нулевого решения системы (1.6), было сведено к изучению устойчивости относительно переменных х,у, 1 = 1,1 нулевого решения системы (1.8). Были получены следующие условия устойчивости и неустойчивости
1) Если у = 0 (случай корней с двумя группами решений), разложение функций Х° и У° начинается с членов третьего порядка по совокупности переменных х, у, а разложение функций
иь Х-Х°,У-У° содержит только члены четвертого порядка по совокупности переменных х,у,^ 1 = 1,1 , тогда при выполнении условий (2.2) и (2.3), нулевое решение системы (1.8) будет асимптотически устойчиво относительно переменных х,у,^ I = 1,1 .
2) Если у = 1 (случай корней с одной группой решений), функции ¿ = 1,/ и X зависят от членов не ниже второго порядка по совокупности переменных у,^ I = 1,1 , а функция У от членов не ниже третьего порядка по совокупности переменных у,^ I = 1,1 , то нулевое движение системы (1.8) будет неустойчиво относительно переменных х,у,^ I = 1,1 .
