Исследование устойчивости относительно части переменных в критическом случае пары чисто мнимых и одного нулевого корней
|
1. Приведение уравнений к специальному виду 6
2. Критический случай двух нулевых корней 7
3. Критический случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней 14
4. Критический случай двух пар чисто мнимых корней 19
Пример. Устойчивость механической системы в критическом случае двух пар чисто мнимых корней 25
Заключение 31
ЛИТЕРАТУРА 32
2. Критический случай двух нулевых корней 7
3. Критический случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней 14
4. Критический случай двух пар чисто мнимых корней 19
Пример. Устойчивость механической системы в критическом случае двух пар чисто мнимых корней 25
Заключение 31
ЛИТЕРАТУРА 32
РЕФЕРАТ
Карасев А.А. Исследование устойчивости относительно части переменных в критическом случае пары чисто мнимых и одного нулевого корня, диссертация 32 с., 11 источников, 2 рисунка.
Ключевые слова: устойчивость относительно части переменных, критический случай, функция Ляпунова, прямой метод Ляпунова.
Объект исследования - нулевое решение системы дифференциальных уравнений возмущенного движения в критическом случае.
Предмет исследования - устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений возмущенного движения относительно части переменных в критическом случае.
Цель исследования - получить различные условия устойчивости и неустойчивости относительно части переменных в критическом случае пары чисто мнимых и одного нулевого корня.
В результате выполнения работы получены частные случаи условий асимптотической устойчивости и неустойчивости при двойном нулевом корне с двумя группами решений, при одном нулевом корне и паре чисто мнимых и при двух парах чисто мнимых корнях.
Результаты работы могут стать основой для последующих исследований по данному направлению.
Основы теории устойчивости движения заложены в известной работе русского академика А.М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» [3], написанной в 1892 году. К настоящему времени теория является общепризнанной во всем мире и находит широкое применение в различных областях науки и техники.
Значительным преимуществом теории служит то, что задача об устойчивости решается в общей математической форме, решая задачу об устойчивости механического движения, изучаем влияние малых отклонений на решения систем дифференциальных уравнений. Такие системы, однако, описывают не только механические движения, но и моделируют иные процессы и явления в радиотехнике, биологии, экономике, социологии и других областях. Поэтому термин «устойчивость движения» понимается в обобщенном смысле.
Наиболее значимым является прямой или второй метод Ляпунова, который позволяет рассматривать устойчивость дифференциальных уравнений без поиска их решений, а рассматривая лишь функцию, которая называется функцией Ляпунова. Данный метод развивал Н.Г. Четаев [5].
До работ Ляпунова в исследованиях устойчивости ограничивались рассмотрением лишь первого приближения [Раусс, 1877; Жуковский, 1882]. Некоторые из подобных исследований не потеряли своего значения и в настоящее время. Однако, как показал Ляпунов, задача об устойчивости не всегда решается членами низшего порядка. Он сумел четко разделить при каких случаях она решается, а при каких - нет.
Эти случаи являются критическими случаями устойчивости, в том смысле, что устойчивость определяется членами высших порядков. Рассмотрение нелинейных членов в общем случае представляет большие трудности, поскольку предполагает подбор функции неизвестного вида, что чрезвычайно сложная и творческая задача, так как алгоритмов ее построения не существует. Первым их рассмотрел сам Ляпунов [3], и развил некоторые методы решения этой задачи в разных случаях.
Наибольший вклад в дальнейшее развитие теории критических случаев внесли И.Г. Малкин [1] [6] и Г.В. Каменков [7].
Впервые задачу об устойчивости по части переменных поставил А.М. Ляпунов, поскольку такая задача является более общей, и позволяет рассматривать устойчивость более сложных систем. Однако, сам Ляпунов ее не рассматривал. Первые общие теоремы сформулировал И.Г. Малкин в 1937 году.
Проведенные в дальнейшем исследования раскрыли большое методологическое сходство в изучении устойчивости по всем переменным и относительной устойчивости с помощью функций Ляпунова. И, вместе с тем, были выявлены определенные различия в решениях ряда идентичных вопросов.
В данном вопросе больших результатов добился академик В.В. Румянцев [2]. Он доказал основные общие теоремы, а результаты были применены для изучения устойчивости космических аппаратов, проведено систематическое исследование вопроса. Соответственно, в задаче о частичной устойчивости возникает вопрос об устойчивости по первому приближению. Эта задача решается, но не в столь широком случае как в устойчивости по всем переменным. Результаты в теории устойчивости по первому приближению относительно части переменных получили А.С. Озиранер, В.П. Прокопьев.
При изучении первого приближения, также возникает вопрос о критических случаях. Его изучение вызывает трудности, поскольку и теория критических случаев, и теория частичной устойчивости являются нетривиальными вопросами. Некоторыми исследованиями занимались В.П. Прокопьев [10], М.Г. Лизунова [11], В.Н. Щенников.
В данной работе поставлена задача об устойчивости в критических случаях по части переменных. Изучается, возможно, ранее не исследованный, случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней, в частном и в общем виде, а также изучаются несколько сходных случаев. Целью является вывод каких-либо критериев устойчивости, асимптотической устойчивости или не устойчивости используя некоторые предположения.
В первой главе приводится преобразование общего вида обыкновенных дифференциальных уравнений возмущения к специальному виду, удобному для исследования.
Во второй доказывается устойчивость по части переменных с одним нулевым и парой чисто мнимых корней в некотором частном случае, с конкретным видом нелинейных частей уравнений.
В третьей, четвертой и пятой размещены основные результаты. Рассмотрены случаи одного нулевого и пары чисто мнимых корней. Также рассмотрен случай двух нулевых, в предположениях достаточных для использования его в двух других случаях.
В шестой главе дается некоторое обобщение, где в переменных, относительно которых рассматривается устойчивость, кроме критических, присутствуют также переменные устойчивые по первому приближению.
Также рассмотрен пример применения методов к рассмотрению конкретной механической системе.
Карасев А.А. Исследование устойчивости относительно части переменных в критическом случае пары чисто мнимых и одного нулевого корня, диссертация 32 с., 11 источников, 2 рисунка.
Ключевые слова: устойчивость относительно части переменных, критический случай, функция Ляпунова, прямой метод Ляпунова.
Объект исследования - нулевое решение системы дифференциальных уравнений возмущенного движения в критическом случае.
Предмет исследования - устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений возмущенного движения относительно части переменных в критическом случае.
Цель исследования - получить различные условия устойчивости и неустойчивости относительно части переменных в критическом случае пары чисто мнимых и одного нулевого корня.
В результате выполнения работы получены частные случаи условий асимптотической устойчивости и неустойчивости при двойном нулевом корне с двумя группами решений, при одном нулевом корне и паре чисто мнимых и при двух парах чисто мнимых корнях.
Результаты работы могут стать основой для последующих исследований по данному направлению.
Основы теории устойчивости движения заложены в известной работе русского академика А.М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» [3], написанной в 1892 году. К настоящему времени теория является общепризнанной во всем мире и находит широкое применение в различных областях науки и техники.
Значительным преимуществом теории служит то, что задача об устойчивости решается в общей математической форме, решая задачу об устойчивости механического движения, изучаем влияние малых отклонений на решения систем дифференциальных уравнений. Такие системы, однако, описывают не только механические движения, но и моделируют иные процессы и явления в радиотехнике, биологии, экономике, социологии и других областях. Поэтому термин «устойчивость движения» понимается в обобщенном смысле.
Наиболее значимым является прямой или второй метод Ляпунова, который позволяет рассматривать устойчивость дифференциальных уравнений без поиска их решений, а рассматривая лишь функцию, которая называется функцией Ляпунова. Данный метод развивал Н.Г. Четаев [5].
До работ Ляпунова в исследованиях устойчивости ограничивались рассмотрением лишь первого приближения [Раусс, 1877; Жуковский, 1882]. Некоторые из подобных исследований не потеряли своего значения и в настоящее время. Однако, как показал Ляпунов, задача об устойчивости не всегда решается членами низшего порядка. Он сумел четко разделить при каких случаях она решается, а при каких - нет.
Эти случаи являются критическими случаями устойчивости, в том смысле, что устойчивость определяется членами высших порядков. Рассмотрение нелинейных членов в общем случае представляет большие трудности, поскольку предполагает подбор функции неизвестного вида, что чрезвычайно сложная и творческая задача, так как алгоритмов ее построения не существует. Первым их рассмотрел сам Ляпунов [3], и развил некоторые методы решения этой задачи в разных случаях.
Наибольший вклад в дальнейшее развитие теории критических случаев внесли И.Г. Малкин [1] [6] и Г.В. Каменков [7].
Впервые задачу об устойчивости по части переменных поставил А.М. Ляпунов, поскольку такая задача является более общей, и позволяет рассматривать устойчивость более сложных систем. Однако, сам Ляпунов ее не рассматривал. Первые общие теоремы сформулировал И.Г. Малкин в 1937 году.
Проведенные в дальнейшем исследования раскрыли большое методологическое сходство в изучении устойчивости по всем переменным и относительной устойчивости с помощью функций Ляпунова. И, вместе с тем, были выявлены определенные различия в решениях ряда идентичных вопросов.
В данном вопросе больших результатов добился академик В.В. Румянцев [2]. Он доказал основные общие теоремы, а результаты были применены для изучения устойчивости космических аппаратов, проведено систематическое исследование вопроса. Соответственно, в задаче о частичной устойчивости возникает вопрос об устойчивости по первому приближению. Эта задача решается, но не в столь широком случае как в устойчивости по всем переменным. Результаты в теории устойчивости по первому приближению относительно части переменных получили А.С. Озиранер, В.П. Прокопьев.
При изучении первого приближения, также возникает вопрос о критических случаях. Его изучение вызывает трудности, поскольку и теория критических случаев, и теория частичной устойчивости являются нетривиальными вопросами. Некоторыми исследованиями занимались В.П. Прокопьев [10], М.Г. Лизунова [11], В.Н. Щенников.
В данной работе поставлена задача об устойчивости в критических случаях по части переменных. Изучается, возможно, ранее не исследованный, случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней, в частном и в общем виде, а также изучаются несколько сходных случаев. Целью является вывод каких-либо критериев устойчивости, асимптотической устойчивости или не устойчивости используя некоторые предположения.
В первой главе приводится преобразование общего вида обыкновенных дифференциальных уравнений возмущения к специальному виду, удобному для исследования.
Во второй доказывается устойчивость по части переменных с одним нулевым и парой чисто мнимых корней в некотором частном случае, с конкретным видом нелинейных частей уравнений.
В третьей, четвертой и пятой размещены основные результаты. Рассмотрены случаи одного нулевого и пары чисто мнимых корней. Также рассмотрен случай двух нулевых, в предположениях достаточных для использования его в двух других случаях.
В шестой главе дается некоторое обобщение, где в переменных, относительно которых рассматривается устойчивость, кроме критических, присутствуют также переменные устойчивые по первому приближению.
Также рассмотрен пример применения методов к рассмотрению конкретной механической системе.
Теория критических случаев является сложной, давно изучаемой проблемой. Устойчивость по части переменных вносит в нее еще некоторые дополнительные трудности для исследования. Поэтому полученные критерии произведены лишь при наложенных жестких условиях.
В ходе исследования были рассмотрены: случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней, случай двух нулевых корней и случай двух пар чисто мнимых. Для последнего случая приведен так же пример решения механической системы. Изучены критерии устойчивости, асимптотической устойчивости, и неустойчивости. Были получены следующее критерии:
1) Доказана теорема (3.9), для критического случая двух нулевых с двумя группами решений, когда форма С (3.5) не знакоопределенная.
2) С помощью теоремы (3.9), исследованы критические случаи пары чисто мнимых и одного нулевого, и двух пар чисто мнимых корней. И показано, что оба случая водятся к случаю двух нулевых, когда С (3.5) не знакоопределенная.
Все результаты получены также при предположении, что правые части уравнений возмущенного движения разложимы в ряды, в области, являющейся окрестностью начала координат по критическим переменным, изучаемой в теории устойчивости по части переменных.
В ходе исследования были рассмотрены: случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней, случай двух нулевых корней и случай двух пар чисто мнимых. Для последнего случая приведен так же пример решения механической системы. Изучены критерии устойчивости, асимптотической устойчивости, и неустойчивости. Были получены следующее критерии:
1) Доказана теорема (3.9), для критического случая двух нулевых с двумя группами решений, когда форма С (3.5) не знакоопределенная.
2) С помощью теоремы (3.9), исследованы критические случаи пары чисто мнимых и одного нулевого, и двух пар чисто мнимых корней. И показано, что оба случая водятся к случаю двух нулевых, когда С (3.5) не знакоопределенная.
Все результаты получены также при предположении, что правые части уравнений возмущенного движения разложимы в ряды, в области, являющейся окрестностью начала координат по критическим переменным, изучаемой в теории устойчивости по части переменных.
содержание магистерской диссертации – Исследование устойчивости относительно части переменных в
критическом случае пары чисто мнимых и одного нулевого корней
выдержки из магистерской диссертации – Исследование устойчивости относительно части переменных в
критическом случае пары чисто мнимых и одного нулевого корней
Подобные работы
- Исследование устойчивости по части переменных в критическом случае m нулевых корней
Магистерская диссертация, математика. Язык работы: Русский. Цена: 5500 р. Год сдачи: 2015