Сокращения и обозначения 5
1 Введение 6
2 Основная часть 8
2.1 Постановка задачи работы 8
2.2 Модель без диффузии 8
2.2.1 Описание модели 8
2.2.2 Условие устойчивости равновесия системы 9
2.3 Одномерная модель с диффузией 10
2.3.1 Описание модели 10
2.3.2 Анализ устойчивости по Тьюрингу 10
2.3.3 Анализ пространственных паттернов 13
2.3.4 Анализ переходных процессов 17
2.3.5 Индуцированные шумом переходы 20
2.3.6 Подавление автоколебаний диффузией 27
2.4 Двумерная модель с диффузией 31
2.4.1 Описание модели 31
2.4.2 Анализ пространственных паттернов 32
3 Заключение 35
Список использованных источников и литературы 36
Построение и анализ математических моделей являются важными инструментами научного исследования различных явлений, в том числе физических и химических. В настоящее время существует возможность эффективно применять применять методы исследования моделей, опирающиеся на применение компьютерных технологий для постановки численных экспериментов и обработки их результатов (см. [1, 2]). В частности, представляет интерес исследование с помощью таких методов моделей химических процессов, каковой является и гликолитический осциллятор Хиггинса. Эта модель описывает колебательную биохимическую реакцию, в процессе которой осуществляется распад глюкозы и образование новых соединений. Этот процесс имеет большое значение для понимания происходящего в различных биологических системах, например в клетках живого организма, потому что в значительной мере он определяет энергетические процессы в клетке.
Впервые модель гликолиза в том виде, в котором она исследуется в данной работе была предложена Хиггинсом (Higgins) в 1964 году [3], также она рассматривалась в работе [4], где изучались различные стохастические эффекты. Следует также отметить релевантные работы [5], [6], посвященные изучению различных вариантов гликолитических моделей.
При изучении рассматриваемой модели мы предполагаем наличие случайных возмущений, так как они неизбежно сопровождают реальный химический процесс и могут существенно влиять на его протекание.
В работе представлено исследование распределенного варианта гликолитической модели Хиггинса с одной пространственной переменной и диффузией; рассмотрен также вариант с двумя пространственными переменными. Для исследования использовались методы численного моделирования, а также стандартные методы анализа, например, для рассмотрения переходных процессов с различной пространственной модальностью был использован метод гармонических коэффициентов. Отметим, что в настоящее время существенный прогресс в изучении свойств подобных систем достигается за счет разумного сочетания аналитического и численного подходов (например, см. [7, 8, 9]). Так, в данной работе численное моделирование также является важной частью исследования: оно позволило выявить такие свойства как мультистабильность и «noise preference».
В разделе «Модель без диффузии» исследуются свойства точечной системы: проведен бифуркационный анализ, исследована устойчивость равновесия системы.
В разделе «Одномерная модель с диффузией» рассмотрен распределенный вариант гликолитической модели Хиггинса с одной пространственной переменной и диффузией. Найдено параметрическое описание зоны неустойчивости по Тьюрингу. С помощью компьютерного моделирования изучен процесс формирования пространственных структур. Обсуждаются детали переходных процессов, мультистабильности, влияния случайного шума на поведение модели.
В разделе «Двумерная модель с диффузией» рассмотрен вариант модели с двумя пространственными переменными и её свойства.
Таким образом, в работе исследованы аттракторы системы и их устойчивость, освещены стохастические эффекты и переходные процессы. Для реализации поставленных задач был разработан программный комплекс, позволяющий вести численные расчёты с нужной степенью точности и визуализировать полученные в ходе эксперимента данные.
В результате работы исследована распределённая модель гликолитического осциллятора Хиггинса. Изучен феномен формирования паттернов в распределенной модели гликолитического осциллятора Хиггинса с диффузией. Аналитически найдены границы зоны неустойчивости Тьюринга. Показана мультистабильность детерминированной модели и наличие паттернов раз-личной пространственной модальности. Произведено параметрическое описание их амплитудных характеристик. Для анализа переходных процессов с различной пространственной модальностью применён метод гармонических коэффициентов. Изучено влияние мультипликативного случайного шума на процесс формирования паттернов в рассматриваемой гликолитической модели. Показано наличие индуцированных шумом переходов между сосуществующими пространственными структурами и явление «noise preference». Исследован феномен подавления автоколебаний диффузией, с помощью численного моделирования произведён анализ качественного поведения системы с диффузией в зоне автоколебаний. Показана способность к формированию пространственных паттернов модели с двумя пространственными координатами и её мультистабильность.
По результатам работы опубликованы статьи [12], [13],[14], [15]
По результатам работы сделаны доклады на конференциях:
1. VII Международная молодежная научная конференция «Физика. Технологии. Инновации. ФТИ-2020»
2. Международная (51-я Всероссийская) молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики и ее приложений» 2020
3. VI Международная молодежная научная конференция «Физика. Техно-логии. Инновации. ФТИ-2019»
